स्वयं को प्रवृत्त करना — निर्देशांकों का उपयोग: कक्षा 9 गणित · अध्याय 1

(Orienting Yourself: The Use of Coordinates · गणित मंजरी भाग 1 / Ganita Manjari Part 1)

गणित मंजरी भाग 1 · हिंदी नोट्स, सिमुलेशन और अभ्यास · NCERT का आधिकारिक अध्याय PDF ↗

प्रकाशित 28 सितंबर 2026 · अपडेट 28 सितंबर 2026

75 मिनट
3 सिमुलेशन
28 अभ्यास प्रश्न
29 MCQ

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

समझाइए कि निर्देशांक पद्धति एक निश्चित मूलबिंदु और दो संदर्भ दिशाओं की मदद से किसी भी स्थान को कैसे नाम देती है, और जानिए कि यह विचार भारत में और उसके बाहर कैसे विकसित हुआ।
ग्रिड पर पैमाने के अनुसार फ़र्श का नक्शा बनाइए और पढ़िए, और समझाइए कि 2-D नक्शा ऊँचाई क्यों नहीं दिखा सकता।
कार्तीय तल के अक्षों, मूलबिंदु और चतुर्थांशों को पहचानिए, और हर निर्देशांक के चिह्न की मदद से बिंदु की जगह तय कीजिए।
निर्देशांकों से बिंदु आलेखित कीजिए और आलेखित बिंदु के निर्देशांक पढ़िए; (x, y) को एक क्रमित युग्म मानिए।
किसी अक्ष के समांतर रेखा पर स्थित दो बिंदुओं के बीच की दूरी, और बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय से किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
दूरियों से आकृतियों की जाँच कीजिए: बराबर भुजाएँ, समकोण, संरेख बिंदु और वृत्त पर स्थित बिंदु।
दिखाइए कि किसी अक्ष में परावर्तन से बिंदुओं की स्थिति बदल जाती है, पर सभी लंबाइयाँ वही रहती हैं।

NCERT गणित कक्षा 9, अध्याय 1, पृ. 1–15 पर आधारित मौलिक सहायक पाठ। यह NCERT से जुड़ा नहीं है और NCERT ने इसका समर्थन नहीं किया है।

1.1 परिचय

मान लीजिए, आप अपनी साइकिल किसी बहुत बड़े, खाली मैदान में कहीं छोड़ आए हैं और किसी दोस्त को फ़ोन करके उसे ले आने को कहते हैं। "कहीं बीच में है" कहने से कोई मदद नहीं मिलेगी। पर "गेट से पानी की टंकी की ओर 40 कदम चलो, फिर अपनी बाईं ओर 15 कदम" हर बार काम करेगा। किसी तय आरंभ बिंदु से, तय दिशाओं में गिनी गई दो संख्याएँ समतल ज़मीन पर किसी जगह को ठीक-ठीक बताने के लिए काफ़ी हैं।

यही निर्देशांक पद्धति (coordinate system) का पूरा विचार है: एक निश्चित आरंभ बिंदु और निश्चित संदर्भ रेखाएँ, जिनकी मदद से हम हर स्थान को संख्याओं से नाम दे सकते हैं। जब स्थानों को संख्याएँ मिल जाती हैं, तो हम उनसे गणना कर सकते हैं, जैसे यह पता लगाना कि दो स्थान एक-दूसरे से कितनी दूर हैं।

यह विचार हमारे उपमहाद्वीप में बहुत पुराना है। सिंधु-सरस्वती सभ्यता के नगर, जैसे मोहनजोदड़ो, योजना बनाकर बसाए गए थे। उनकी चौड़ी मुख्य सड़कें उत्तर–दक्षिण और पूर्व–पश्चिम दिशा में चलती थीं और एक-दूसरे को समकोण (right angle) पर काटती थीं। ऐसे नगर में कोई जगह ढूँढ़ना बस गिनती का काम है: इतने ब्लॉक पूर्व की ओर, फिर इतने ब्लॉक उत्तर की ओर (चित्र 1.1)।

4/4दुकान का पता युग्म (3, 2) है: पहले पूर्व के ब्लॉक, फिर उत्तर के ब्लॉक।

चित्र 1.1किसी निश्चित चौराहे से ब्लॉक गिनने पर कोई भी स्थान संख्याओं का एक युग्म बन जाता है।

ऊपर से देखा गया एक नगर का नक्शा, जिसकी सड़कें वर्गाकार ग्रिड बनाती हैं; ब्लॉकों में कुछ गोल पेड़ हैं और ऊपर एक दिशा-सूचक उत्तर दिखाता है। पहले चरण में बीच के चौराहे पर 'केंद्र' लिखा है, और उससे थोड़ा ऊपर-दाईं ओर तारे के निशान वाली एक दुकान है। दूसरे चरण में एक राहगीर मुख्य सड़क पर 3 ब्लॉक पूर्व की ओर चलता है, जिसे बिंदुदार नारंगी तीर से दिखाया गया है। तीसरे चरण में वह मुड़कर 2 ब्लॉक उत्तर की ओर चलता है, जिसे बिंदुदार नीले तीर से दिखाया गया है, और दुकान तक पहुँच जाता है। अंतिम चरण में एक पट्टी पर दुकान का पता युग्म (3, 2) के रूप में लिखा है, यानी पहले पूर्व, फिर उत्तर।

लगभग 800 ई.पू. में बौधायन के शुल्ब-सूत्र ने यज्ञ की वेदियाँ बनाने के सटीक नियम दिए। बनाने वाले पहले पूर्व–पश्चिम दिशा में एक रस्सी तानते थे। फिर उसके समकोण पर उत्तर–दक्षिण दिशा में एक रेखा तय करते थे। इसके बाद वेदी का हर कोना इन्हीं दो रेखाओं से मापा जाता था। इसी ग्रंथ में वह नियम भी है जिसे आज हम बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय कहते हैं; खंड 1.4 में यही प्रमेय हमें दूरियाँ निकालने में मदद करेगा।

गोल पृथ्वी पर किसी स्थान को चिह्नित करने के लिए हमें दो कोण चाहिए, जिन्हें आज अक्षांश (latitude) और देशांतर (longitude) कहते हैं। अक्षांश विषुवत रेखा (equator) से शुरू होता है, पर देशांतर का कोई प्राकृतिक शून्य नहीं होता, इसलिए किसी को उसे चुनना पड़ता है। भारतीय सिद्धांत ग्रंथों के खगोलविदों ने उज्जयिनी (आज का उज्जैन) से होकर जाने वाली उत्तर–दक्षिण रेखा को चुना। लगभग 150 ई. में अलेक्ज़ेंड्रिया के टॉलेमी ने कई हज़ार स्थानों की एक सूची बनाई, जिसमें हर स्थान के दोनों कोण दिए गए थे; उज्जैन भी उनमें था। आर्यभट (499 ई.) ने अपना खगोलशास्त्र अर्धज्या (half-chord) के विचार पर खड़ा किया; यही विचार आगे चलकर आज का साइन (sine) बना। अर्धज्या की सारणियों से तारों और स्थानों के कठिन कोण-प्रश्न सारणी में देखकर झटपट हल होने लगे। आकाश को भी निर्देशांक मिले: किसी ग्रह की स्थिति क्रांतिवृत्त (सूर्य के वार्षिक मार्ग) के साथ-साथ और उससे हटकर मापे गए कोणों से बताई जाती थी।

जिस तल से आप अभी मिलने वाले हैं, उसमें दोनों अक्ष जहाँ काटते हैं वहाँ 0 होता है, और हर अक्ष के आधे हिस्से पर ऋणात्मक (negative) संख्याएँ होती हैं। इस बनावट के लिए ज़रूरी है कि शून्य और ऋणात्मक संख्याओं को सच्ची संख्याएँ माना जाए। 628 ई. में ब्रह्मगुप्त ने अपने ग्रंथ ब्राह्मस्फुटसिद्धांत में ठीक यही किया। उन्होंने धनात्मक (positive) संख्याओं को धन और ऋणात्मक संख्याओं को ऋण कहा। उनके नियमों में ये भी हैं: “ऋण में से शून्य घटाने पर ऋण ही रहता है” और “दो ऋणों का गुणनफल धन होता है”।

इसके बाद यह ज्ञान पश्चिम की ओर गया। लगभग 770 ई. में बग़दाद में ब्रह्मगुप्त की परंपरा के एक संस्कृत खगोल-ग्रंथ का अरबी में सिंदहिंद नाम से अनुवाद हुआ। इसके साथ उज्जैन की याम्योत्तर रेखा (meridian) भी वहाँ पहुँची; अरब नक्शा-निर्माताओं ने उसे अरिन नाम दिया और उसे देशांतर का शून्य माना। बाद में अल-बीरूनी ने कई वर्ष भारत में बिताए और संस्कृत सीखी। उनकी किताब-उल-हिंद (लगभग 1030 ई.) भारतीय खगोलशास्त्र को विस्तार से समझाती है, और उनकी दूसरी रचनाओं में बहुत-से नगरों के अक्षांश और देशांतर दिए गए हैं। उन्होंने एस्ट्रोलेब पर एक पुस्तिका भी लिखी; यह पीतल का एक यंत्र है, जिससे सूर्य या किसी तारे की ऊँचाई मापी जाती है। कवि और गणितज्ञ उमर ख़य्याम (1048–1131) ने त्रिघात (cubic) समीकरणों को दो वक्र खींचकर और उनके कटान-बिंदु ढूँढ़कर हल किया।

यूरोप में निर्णायक कदम 1630 के दशक में उठा। तूलूज़ के एक वकील पियरे द फ़र्मा और नीदरलैंड्स में रहने वाले दार्शनिक रेने देकार्त को एक ही बात सूझी: किसी वक्र को ऐसे समीकरण से बताया जा सकता है जो दो संख्याओं को आपस में जोड़ता है। देकार्त ने 1637 में ला ज्योमेत्री नाम की पुस्तक में अपनी विधि प्रकाशित की। तब से आकृतियों के किसी प्रश्न को बीजगणित में बदला जा सकता था, और किसी समीकरण को चित्र के रूप में खींचा जा सकता था।

समय-रेखा

निर्देशांकों का विचार कैसे विकसित हुआ

लगभग 2600–1900 ई.पू.
ग्रिड वाले नगर
मोहनजोदड़ो जैसे नगरों की मुख्य सड़कें उत्तर–दक्षिण और पूर्व–पश्चिम दिशा में चलती हैं।
लगभग 800 ई.पू.
बौधायन का शुल्ब-सूत्र
वेदियाँ एक पूर्व–पश्चिम रेखा और एक उत्तर–दक्षिण रेखा से मापी गईं; आयत के विकर्ण का नियम।
लगभग 150 ई.
टॉलेमी की ज्योग्राफ़ी
हज़ारों स्थानों के अक्षांश और देशांतर।
499 ई.
आर्यभट
तारों और नगरों की स्थिति के लिए अर्धज्या (साइन) की सारणियाँ।
628 ई.
ब्रह्मगुप्त
शून्य और ऋणात्मक संख्याओं को नियमों के साथ संख्याएँ माना गया।
लगभग 1030 ई.
अल-बीरूनी
बहुत-से नगरों के अक्षांश और देशांतर; एस्ट्रोलेब पर एक पुस्तिका।
लगभग 1070 ई.
उमर ख़य्याम
दो वक्रों को आपस में मिलाकर त्रिघात समीकरणों का हल।
1637 ई.
देकार्त की ला ज्योमेत्री
बिंदुओं को दो संख्याओं से नाम मिला; ज्यामिति और बीजगणित एक हो गए।

क्या आप जानते हैं?

भारत की पुरानी शून्य रेखा

उज्जैन लगभग 23.2° उत्तर अक्षांश और 75.8° पूर्व देशांतर पर है, कर्क रेखा (लगभग 23.4° उत्तर) के पास। सदियों तक इसकी याम्योत्तर रेखा भारतीय खगोलविदों के लिए वही काम करती रही जो आज ग्रीनविच याम्योत्तर पूरी दुनिया के लिए करती है। 1720 के दशक में महाराजा सवाई जयसिंह द्वितीय ने वहाँ एक वेधशाला बनवाई, जिसे आप आज भी देखने जा सकते हैं।

आप जिस तल का अध्ययन करेंगे, उसे देकार्त के नाम पर कार्तीय (Cartesian) तल कहते हैं; देकार्त अपनी लैटिन रचनाओं पर अपना नाम रेनातुस कार्तेसियस लिखते थे।

इस अध्याय में हम दो संख्याओं वाली यह पद्धति कदम-दर-कदम बनाएँगे। हम एक कमरे के फ़र्श से शुरू करेंगे, फिर एक ऐसे अंतहीन समतल पर जाएँगे जिसमें ऋणात्मक संख्याएँ भी होती हैं। अंत में हम इसकी मदद से किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी मापेंगे।

1.2 तैयारी

नासिक के एक स्कूल की कक्षा 9 के विद्यार्थियों को एक खाली कमरा और एक चुनौती मिली है। उनके शिक्षक चाहते हैं कि वे इसे एक गणित लैब में बदल दें: गणित का एक कमरा, जिसमें काम करने की मेज़, पहेलियों की एक शेल्फ़ और एक सूचना-पट्ट हो। एक नियम सबसे ज़रूरी है। उनका सहपाठी फ़रहान व्हीलचेयर का उपयोग करता है, इसलिए हर दरवाज़ा और हर रास्ता उसके लिए भी सुविधाजनक होना चाहिए।

कोई भी फ़र्नीचर खिसकाने से पहले टीम वर्गांकित कागज़ (squared paper) पर कमरे का चित्र बनाती है। वे पैमाना चुनते हैं: कागज़ पर 1 cm यानी कमरे में 1 m, इसलिए 8 m लंबी दीवार 8 cm लंबी रेखा बन जाती है। वे कमरे के एक कोने को अपना आरंभ बिंदु चुनते हैं और हर चीज़ को वहाँ मिलने वाली दो दीवारों से मापते हैं।

ऐसे चित्र को फ़र्श का नक्शा (floor plan) कहते हैं: छत पर बैठी छिपकली सीधे नीचे देखे, तो कमरा उसे जैसा दिखेगा, वैसा ही। चित्र 1.2 दिखाता है कि असली कमरे से नक्शे तक आते-आते क्या बचा रहता है और क्या छूट जाता है।

4/4नक्शा दिखाता है कि खिड़की दीवार पर कहाँ है, पर यह नहीं कि वह कितनी ऊँचाई पर है।

चित्र 1.2फ़र्श का नक्शा लंबाई और चौड़ाई तो रखता है, पर ऊँचाई नहीं।NCERT चित्र 1.1 · पृ. 3

बाईं ओर एक कमरा 3-D में बना है, जिसमें पीछे की दीवार, बाईं दीवार और फ़र्श है; पीछे की दीवार पर एक खिड़की, बाईं दीवार में एक दरवाज़ा और फ़र्श पर एक छोटी मेज़ है। दूसरे चरण में 'ऊपर से' लिखा एक तीर दाईं ओर के फ़र्श के नक्शे की ओर इशारा करता है: एक आयत, जिसके ऊपरी किनारे पर खिड़की का निशान है और बाएँ किनारे पर दरवाज़े की खुली जगह और उसके घूमने का चाप है। तीसरे चरण में नक्शे पर ग्रिड के वर्ग दिखते हैं, साथ में '1 वर्ग = 1 m' लिखा है, और मेज़ एक हरे आयत के रूप में दिखती है। अंतिम चरण में 3-D कमरे पर एक तीर खिड़की की चौखट की ऊँचाई दिखाता है, और नक्शे के पास 'ऊँचाई?' लिखा है, जो बताता है कि नक्शा इसे दर्ज नहीं कर सकता।

देखिए कि नक्शा हमें क्या नहीं बता सकता। यह पीछे की दीवार पर खिड़की को एक निशान से दिखाता है, इसलिए हमें पता चलता है कि खिड़की दीवार पर कहाँ है। पर यह नहीं दिखाता कि खिड़की की चौखट कितनी ऊँची है, या मेज़ कितनी ऊँची है। फ़र्श का नक्शा केवल दो दिशाएँ दर्ज करता है: लंबाई और चौड़ाई। ऊँचाई तीसरी दिशा है, और उसके लिए तीसरी संख्या चाहिए।

तुलना

किसी स्थिति को तय करने के लिए कितनी संख्याएँ चाहिए?

रेखा पर (1-D)

एक संख्या
राजमार्ग पर किलोमीटर का पत्थर
रूलर (पैमाने) पर एक निशान

समतल सतह पर (2-D)

दो संख्याएँ
शतरंज की बिसात पर एक खाना
सिनेमा की सीट: पंक्ति और सीट नंबर
फ़र्श के नक्शे पर एक कोना

त्रिविमीय जगह में (3-D)

तीन संख्याएँ
आसमान में एक पतंग
कमरे में छत का पंखा
खिड़की की चौखट: दीवार के साथ-साथ और फ़र्श से ऊपर

करके देखिए

अपने कमरे का नक्शा बनाइए

आपको चाहिए

वर्गांकित कागज़
एक मापने वाला फ़ीता
एक पेंसिल और एक रूलर

पहले अनुमान लगाइए

नक्शे पर अपने पलंग का एक कोना तय करने के लिए आपको कितने माप चाहिए?

एकदोतीनचार

कमरे का एक कोना अपना आरंभ बिंदु चुनिए और उसे O कहिए।
O पर मिलने वाली दोनों दीवारें मापिए, और एक पैमाना चुनिए, जैसे 50 cm के लिए 1 cm।
फ़र्नीचर की हर चीज़ के लिए मापिए कि उसका हर कोना दोनों दीवारों से कितनी दूर है।
दीवारें पैमाने के अनुसार खींचिए, फिर फ़र्नीचर के कोने अंकित कीजिए और उन्हें मिलाइए।
दरवाज़ों और खिड़कियों को दीवारों पर खाली जगह या निशान के रूप में दिखाइए।

सारणी 1.1मेरे माप

कोना	दीवार 1 से (m)	दीवार 2 से (m)
पलंग, सबसे पास का कोना
मेज़, सबसे पास का कोना
दरवाज़े का कब्ज़ा

आप जो भरते हैं, वह अपने-आप सेव होता है।

झटपट जाँच

3 में से 1

एक नक्शे में 50 cm के लिए 1 cm लिया गया है। उसमें एक मेज़ 3 cm लंबी बनी है। असली मेज़ कितने मीटर लंबी है?

उत्तर देखें

उत्तर 1.5 m

हर सेंटीमीटर 50 cm को दर्शाता है, इसलिए

3 \times 50 = 150

cm, यानी 1.5 m।

1.3 2-D कार्तीय निर्देशांक पद्धति

संख्या रेखा पर एक संख्या किसी बिंदु को तय कर देती है: 3, शून्य से तीन इकाई दाईं ओर है, और $- 2$ , शून्य से दो इकाई बाईं ओर। संख्या रेखा एकविमीय (one-dimensional) होती है। समतल सतह पर बिंदुओं को बताने के लिए हमें दूसरी संख्या चाहिए, और इसलिए दूसरी संख्या रेखा भी।

अब एक दूसरी संख्या रेखा लीजिए, उसे सीधा खड़ा कीजिए, और तब तक खिसकाइए जब तक उसका 0 ठीक पहली रेखा के 0 पर न आ जाए (चित्र 1.3)। अब दोनों रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब (perpendicular) हैं और उनका शून्य एक ही है। क्षैतिज (horizontal) रेखा x-अक्ष (x-axis) है और खड़ी रेखा y-अक्ष (y-axis); दोनों को मिलाकर निर्देशांक अक्ष (coordinate axes) कहते हैं। इनका साझा शून्य बिंदु मूलबिंदु (origin) है, जिसे O से दिखाते हैं।

4/4दाएँ और ऊपर धनात्मक हैं; बाएँ और नीचे ऋणात्मक।

चित्र 1.3समकोण पर रखी दो संख्या रेखाएँ निर्देशांक अक्ष बनाती हैं।NCERT चित्र 1.2 · पृ. 4

पहले चरण में ऋण 5 से 5 तक की एक क्षैतिज संख्या रेखा है, जिसके बीच में 0 है; उस पर x-अक्ष लिखा है। दूसरे चरण में ऋण 3 से 3 तक की एक ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा उसे शून्य पर काटती है, और एक छोटा वर्ग समकोण दिखाता है; उस पर y-अक्ष लिखा है। तीसरे चरण में कटान-बिंदु पर O लिखा है और साथ में (0, 0)। अंतिम चरण में x-अक्ष का दायाँ आधा और y-अक्ष का ऊपरी आधा हरे रंग में उभरे हैं, जिन पर '+ दाएँ' और '+ ऊपर' लिखा है, और बायाँ तथा निचला आधा नारंगी रंग की डैश वाली रेखा से हैं, जिन पर 'ऋण बाएँ' और 'ऋण नीचे' लिखा है।

हर अक्ष एक सामान्य संख्या रेखा है, और दोनों पर इकाई लंबाई एक ही है। इसलिए संख्या रेखा का जाना-पहचाना नियम दोनों पर लागू होता है। x-अक्ष पर O के दाईं ओर के बिंदु धनात्मक और बाईं ओर के बिंदु ऋणात्मक होते हैं। y-अक्ष पर ऊपर धनात्मक और नीचे ऋणात्मक होता है।

परिभाषा

मूलबिंदु

वह बिंदु जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं। इसके निर्देशांक $(0, 0)$ हैं।

उदाहरणगणित लैब के नक्शे में मूलबिंदु वह कोना है जहाँ सामने की दीवार बाईं दीवार से मिलती है।

अक्षों पर स्थित बिंदु

शुरुआत उन बिंदुओं से करते हैं जो किसी अक्ष पर स्थित हैं। चित्र 1.4 में बिंदु K, x-अक्ष पर O से साढ़े तीन इकाई दाईं ओर है। O से वहाँ पहुँचने के लिए x-दिशा में 3.5 इकाई और y-दिशा में शून्य इकाई चलना पड़ता है, इसलिए K को युग्म $(3.5, 0)$ से बताते हैं। हम लिखते हैं $K = (3.5, 0)$ , जिसे प्रायः छोटा करके $K (3.5, 0)$ लिखा जाता है। O से ढाई इकाई बाईं ओर स्थित बिंदु L है: $L (- 2.5, 0)$ ।

y-अक्ष पर स्थित बिंदुओं में बात उलटी होती है: पहली संख्या 0 होती है। O से 2.5 इकाई ऊपर स्थित बिंदु M है: $M (0, 2.5)$ , और O से 3 इकाई नीचे स्थित बिंदु N है: $N (0, - 3)$ ।

3/3x-अक्ष का हर बिंदु $(x, 0)$ है; y-अक्ष का हर बिंदु $(0, y)$ है।

चित्र 1.4किसी अक्ष पर दोनों निर्देशांकों में से एक हमेशा 0 होता है।

इकाई के निशानों वाले निर्देशांक अक्ष। पहले चरण में दो नीले बिंदु x-अक्ष पर हैं: O के दाईं ओर K, (3.5, 0) पर और बाईं ओर L, (ऋण 2.5, 0) पर। दूसरे चरण में y-अक्ष पर दो नारंगी बिंदु दिखते हैं: O के ऊपर M, (0, 2.5) पर और उसके नीचे N, (0, ऋण 3) पर। अंतिम चरण में x-अक्ष नीले रंग में उभरा है और उस पर 'x-अक्ष पर: (x, 0)' लिखा है, और y-अक्ष नारंगी रंग में उभरा है और उस पर 'y-अक्ष पर: (0, y)' लिखा है।

मुख्य बात

अक्षों पर स्थित बिंदु

x-अक्ष पर दूसरा निर्देशांक हमेशा 0 होता है, इसलिए वहाँ हर बिंदु $(x, 0)$ जैसा होता है। $x$ का चिह्न बताता है कि बिंदु किस ओर है: धनात्मक का अर्थ है O के दाईं ओर, ऋणात्मक का अर्थ है बाईं ओर।
y-अक्ष पर पहला निर्देशांक हमेशा 0 होता है, इसलिए वहाँ हर बिंदु $(0, y)$ जैसा होता है। धनात्मक $y$ का अर्थ है O के ऊपर, और ऋणात्मक $y$ का अर्थ है नीचे।
केवल एक बिंदु दोनों अक्षों पर है: मूलबिंदु $(0, 0)$ ।

फिर से गणित लैब में

अब विद्यार्थी अपने नक्शे पर अक्ष बनाते हैं। मूलबिंदु O वह कोना है जहाँ सामने की दीवार बाईं दीवार से मिलती है। x-अक्ष सामने की दीवार के साथ-साथ और y-अक्ष बाईं दीवार के साथ-साथ चलता है (चित्र 1.5)। कमरा 8 m चौड़ा और 6 m गहरा है, और एक इकाई 1 m को दर्शाती है।

3/3एक शेल्फ़, एक सूचना-पट्ट और एक अलमारी से नक्शा पूरा होता है।

चित्र 1.5गणित लैब, उसके कोने, दरवाज़े और फ़र्नीचर। एक इकाई 1 m है।NCERT चित्र 1.3 · पृ. 5

ग्रिड पर बना एक आयताकार कमरा; x-अक्ष उसकी सामने की दीवार के साथ और y-अक्ष बाईं दीवार के साथ है, जिन पर 1 से 8 और 1 से 6 तक निशान हैं। पहले चरण में कोनों के नाम हैं: मूलबिंदु पर O, A (8, 0), B (8, 6) और C (0, 6)। दूसरे चरण में दो दरवाज़े दिखते हैं: मुख्य दरवाज़ा DE, सामने की दीवार में 5 और 6 के बीच खुली जगह है, जिसके घूमने का चाप डैश वाली रेखा से दिखाया गया है; और स्टोर-रूम का दरवाज़ा ST, बाईं दीवार में लगभग 3.5 और 4.3 के बीच एक छोटी खुली जगह है। अंतिम चरण में बाईं दीवार के साथ स्टोर के दरवाज़े के ऊपर एक शेल्फ़, पीछे की दीवार के साथ एक हरा सूचना-पट्ट और दाईं दीवार के साथ एक अलमारी दिखती है।

अब कमरे के हर कोने का नाम दो संख्याओं से बना है: $O (0, 0)$ , $A (8, 0)$ , $B (8, 6)$ और $C (0, 6)$ । पूरा कमरा बाईं दीवार के दाईं ओर और सामने की दीवार के ऊपर है, इसलिए इसके किसी भी बिंदु का कोई भी निर्देशांक ऋणात्मक नहीं है।

उदाहरण

लैब का नक्शा पढ़ना

लैब के नक्शे में सूचना-पट्ट पीछे की दीवार के साथ $G (1.5, 6)$ से $H (4.5, 6)$ तक लगा है। (a) इसकी लंबाई कितनी है? (b) इसका दायाँ सिरा दाईं दीवार AB से कितनी दूर है? (c) इसका मध्य-बिंदु (midpoint) कहाँ है?

पहले खुद हल करके देखिए। फिर हल को एक-एक चरण करके खोलिए।

अभ्यास · 4 प्रश्न

अभ्यास 1.1: उत्तर सहित प्रश्न

चित्र 1.5 में दिए गणित लैब के नक्शे का उपयोग कीजिए। एक इकाई 1 m है।

1
लघु उत्तरआसानNCERT प्रश्नावली 1.1 (i)–(ii)
मुख्य दरवाज़ा सामने की दीवार के साथ D से E तक है।
1. D, बाईं दीवार (y-अक्ष) से कितने मीटर दूर है?
  m
  उत्तर देखें
  उत्तर 5 m
  D सामने की दीवार पर 5 m के निशान पर है।
2. D, सामने की दीवार (x-अक्ष) से कितने मीटर दूर है?
  m
  उत्तर देखें
  उत्तर 0 m
  D सामने की दीवार पर ही है, इसलिए x-अक्ष से इसकी दूरी 0 है।
3. D और E के निर्देशांक लिखिए।
  हल दिखाइए
  उत्तर $D (5, 0)$ और $E (6, 0)$
  दोनों बिंदु x-अक्ष पर हैं, इसलिए उनके y-निर्देशांक 0 हैं। उनके x-निर्देशांक 5 और 6 के निशान हैं, इसलिए $D (5, 0)$ और $E (6, 0)$ ।
2
लघु उत्तरआसानNCERT प्रश्नावली 1.1 (iii)
व्हीलचेयर के लिए दरवाज़े में कम से कम 0.9 m की खुली चौड़ाई चाहिए।
1. मुख्य दरवाज़ा DE कितने मीटर चौड़ा है?
  m
  उत्तर देखें
  उत्तर 1 m
  $6 - 5 = 1$ m।
2. मुख्य दरवाज़ा फ़रहान की व्हीलचेयर के लिए काफ़ी चौड़ा है।
  सहीगलत
  उत्तर देखें
  उत्तर सही
  1 m, 0.9 m से ज़्यादा है; 10 cm जगह बचती भी है।
3
लघु उत्तरमध्यमNCERT प्रश्नावली 1.1 (iv)
स्टोर-रूम का दरवाज़ा $S (0, 3.5)$ से $T (0, 4.3)$ तक है।
1. स्टोर-रूम का दरवाज़ा कितने मीटर चौड़ा है?
  m
  उत्तर देखें
  उत्तर 0.8 m
  $4.3 - 3.5 = 0.8$ m।
2. यह मुख्य दरवाज़े से संकरा है या चौड़ा, और कितना?
  हल दिखाइए
  उत्तरसंकरा, 0.2 m से।
  मुख्य दरवाज़ा 1 m चौड़ा है और स्टोर-रूम का दरवाज़ा 0.8 m, इसलिए स्टोर-रूम का दरवाज़ा $1 - 0.8 = 0.2$ m संकरा है।
3. क्या फ़रहान स्टोर-रूम के दरवाज़े का, जैसा वह अभी है, उपयोग कर सकता है? आप क्या सुझाव देंगे?
  हल दिखाइए
  उत्तरनहीं: 0.8 m, 0.9 m से कम है।
  यह दरवाज़ा व्हीलचेयर के लिए ज़रूरी 0.9 m से 0.1 m संकरा है। टीम इसे मुख्य दरवाज़े की तरह लगभग 1 m तक चौड़ा करवा सकती है, या फ़रहान के काम की चीज़ें लैब में ही रख सकती है।
झटपट उत्तरआसान
कमरे के किस कोने के निर्देशांक $(0, 6)$ हैं?
OABC
उत्तर देखें
उत्तर (D) C
$(0, 6)$ , y-अक्ष पर O से 6 m दूर है: यह पीछे-बाएँ का कोना C है।

सोचिएNCERT सोचिए और विचार कीजिए · पृ. 5

दरवाज़ा कितना चौड़ा होना चाहिए?

घर का मुख्य दरवाज़ा, घर के बाथरूम का दरवाज़ा और स्कूल में कक्षा का दरवाज़ा मापिए। इनमें सबसे संकरा कौन-सा है?
भारत में सुगम्यता (accessibility) के दिशानिर्देश कहते हैं कि दरवाज़े कम से कम लगभग 90 cm चौड़े हों, ताकि व्हीलचेयर निकल सके। आपके कौन-से दरवाज़े इस पर खरे उतरते हैं?
अपने स्कूल में घूमिए। फ़रहान कहाँ अटक जाएगा: सीढ़ियों पर, संकरे दरवाज़ों पर, भारी दरवाज़ों पर, या कहीं और?

सारणी 1.2दरवाज़ों का सर्वे

दरवाज़ा	चौड़ाई (cm)	काफ़ी चौड़ा?
घर का मुख्य दरवाज़ा
घर के बाथरूम का दरवाज़ा
कक्षा का दरवाज़ा
स्कूल के शौचालय का दरवाज़ा

आप जो भरते हैं, वह अपने-आप सेव होता है।

झटपट जाँच

4 में से 1

कौन-सा बिंदु x-अक्ष पर है?

(0, - 2)

(2, 2)

(- 2, - 2)

(- 2, 0)

उत्तर देखें

उत्तर (D) $(- 2, 0)$

x-अक्ष पर y-निर्देशांक 0 होता है, इसलिए सही उत्तर

(- 2, 0)

है।

(0, - 2)

का x-निर्देशांक 0 है, इसलिए वह y-अक्ष पर है।

चतुर्थांश

ज़ाहिर है, ज़्यादातर बिंदु किसी भी अक्ष पर नहीं होते। जिस पूरी समतल सतह पर अक्ष खींचे जाते हैं, उसके तीन प्रचलित नाम हैं: कार्तीय तल (Cartesian plane), निर्देशांक तल और xy-तल। इसके दोनों अक्ष किसी खेत में लगी दो बाड़ों की तरह एक-दूसरे को काटते हैं और इसे चार भागों में बाँट देते हैं, जिन्हें चतुर्थांश (quadrants) कहते हैं। हम इन्हें ऊपर-दाएँ से शुरू करके वामावर्त (anticlockwise) दिशा में I, II, III और IV क्रमांक देते हैं (चित्र 1.6)।

3/3P, Q, R और S में से हर बिंदु अलग चतुर्थांश में है।

चित्र 1.6चार चतुर्थांश, जिन्हें ऊपर-दाएँ से वामावर्त दिशा में क्रमांक दिए गए हैं।NCERT चित्र 1.4 · पृ. 6

एक ग्रिड, जिसके बीच में x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं। पहले चरण में चारों भाग अलग-अलग रंगों में रंगे हैं और उन पर बड़े रोमन अंक लिखे हैं: ऊपर-दाएँ I, ऊपर-बाएँ II, नीचे-बाएँ III और नीचे-दाएँ IV; मूलबिंदु के चारों ओर एक घुमावदार तीर दिखाता है कि क्रमांक वामावर्त दिशा में चलते हैं। दूसरे चरण में हर चतुर्थांश में उसके चिह्नों का पैटर्न लिखा है: I में (+, +), II में (ऋण, +), III में (ऋण, ऋण) और IV में (+, ऋण)। अंतिम चरण में चार बिंदु दिखते हैं: चतुर्थांश I में P (5, 4), चतुर्थांश II में Q (ऋण 6, 1), चतुर्थांश III में R (ऋण 3, ऋण 4) और चतुर्थांश IV में S (6, ऋण 3)।

सारणी 1.3हर चतुर्थांश में निर्देशांकों के चिह्न

चतुर्थांश	x-निर्देशांक	y-निर्देशांक	उदाहरण
I (ऊपर-दाएँ)	धनात्मक	धनात्मक	$(5, 4)$
II (ऊपर-बाएँ)	ऋणात्मक	धनात्मक	$(- 6, 1)$
III (नीचे-बाएँ)	ऋणात्मक	ऋणात्मक	$(- 3, - 4)$
IV (नीचे-दाएँ)	धनात्मक	ऋणात्मक	$(6, - 3)$

परिभाषा

चतुर्थांश

उन चार भागों में से एक, जिनमें निर्देशांक अक्ष तल को बाँटते हैं। अक्षों पर स्थित बिंदु किसी भी चतुर्थांश में नहीं होते।

उदाहरण $(- 3, 0)$ , x-अक्ष पर है, इसलिए यह किसी भी चतुर्थांश में नहीं है, भले ही इसकी एक संख्या ऋणात्मक है।

दोनों संख्याओं का अर्थ

चित्र 1.7 में बिंदु P को देखिए। O से P तक पहुँचने के लिए 4 इकाई दाईं ओर और फिर 3 इकाई ऊपर जाइए। यहाँ 4, P की y-अक्ष से दूरी है: क्षैतिज डैश वाली रेखा की लंबाई। और 3, P की x-अक्ष से दूरी है: ऊर्ध्वाधर (vertical) डैश वाली रेखा की लंबाई। चिह्न बताते हैं कि बिंदु किस ओर है। पहली संख्या ऋणात्मक हो, तो बिंदु y-अक्ष के बाईं ओर होता है, और दूसरी संख्या ऋणात्मक हो, तो x-अक्ष के नीचे।

युग्म $(4, 3)$ को P के निर्देशांक (coordinates) कहते हैं। पहली संख्या x-निर्देशांक (x-coordinate) है और दूसरी y-निर्देशांक (y-coordinate)। क्योंकि क्रम का भी अर्थ होता है, इसलिए $(x, y)$ एक क्रमित युग्म (ordered pair) है: $(4, 3)$ और $(3, 4)$ अलग-अलग बिंदु हैं।

3/4P, x-अक्ष से 3 इकाई दूर है, इसलिए इसका y-निर्देशांक 3 है। अतः P = (4, 3)।

चित्र 1.7x-निर्देशांक, y-अक्ष से दूरी है; y-निर्देशांक, x-अक्ष से दूरी है।

पहले चतुर्थांश का एक ग्रिड, जिसमें x के साथ 1 से 6 और y के साथ 1 से 5 तक संख्याएँ हैं, और दाईं ओर एक पट्टी है। पहले चरण में केवल बिंदु P अंकित है और पट्टी पूछती है 'P कहाँ है?'। दूसरे चरण में एक नीली डैश वाली रेखा P से y-अक्ष तक जाती है, जिस पर 4 इकाई लिखा है, और पट्टी में x = 4 दिखता है। तीसरे चरण में एक नारंगी डैश वाली रेखा P से नीचे x-अक्ष तक जाती है, जिस पर 3 इकाई लिखा है, और पट्टी में y = 3 और P (4, 3) जुड़ जाते हैं। अंतिम चरण में P के ऊपर-बाईं ओर हल्की मार्गदर्शक रेखाओं के साथ एक बैंगनी बिंदु (3, 4) दिखता है, और पट्टी में लिखा है कि (3, 4), (4, 3) के बराबर नहीं है।

परिभाषा

किसी बिंदु के निर्देशांक

क्रमित युग्म $(x, y)$ , जिसमें $x$ बिंदु की y-अक्ष से चिह्न सहित दूरी है और $y$ उसकी x-अक्ष से चिह्न सहित दूरी है।

उदाहरण $P (4, 3)$ , y-अक्ष से 4 इकाई दाईं ओर और x-अक्ष से 3 इकाई ऊपर है।

चरण दर चरण

चार चालों में बिंदु आलेखित करना

चरण 1 / 4

मूलबिंदु से शुरू कीजिए

अपनी पेंसिल O पर रखिए। $B (- 3, 4)$ आलेखित (plot) करने के लिए दोनों संख्याओं को क्रम से पढ़िए।

चरण 4 / 4

अंकित कीजिए और नाम लिखिए

एक बिंदी लगाइए और उसका नाम निर्देशांकों के साथ लिखिए: $B (- 3, 4)$ । चिह्न $(-, +)$ बताते हैं कि यह चतुर्थांश II में होना चाहिए: जाँच लीजिए कि ऐसा ही है।

1 / 4

उदाहरण

चिह्नों से चतुर्थांश तय होता है

हर बिंदु कहाँ स्थित है: (a) $(- 2.5, 7)$ (b) $(6, - 0.5)$ (c) $(0, - 4)$ (d) $(- 3, - 3)$ ? (e) यदि $a < 0$ और $b > 0$ है, तो $(a, b)$ और $(b, a)$ किन चतुर्थांशों में हैं?

पहले खुद हल करके देखिए। फिर हल को एक-एक चरण करके खोलिए।

(e) $(a, b)$ का पैटर्न $(-, +)$ है, इसलिए यह चतुर्थांश II में है। अदला-बदली करने पर $(b, a)$ का पैटर्न $(+, -)$ है, यानी चतुर्थांश IV। संख्याओं की अदला-बदली से बिंदु दूसरे चतुर्थांश में पहुँच गया।

सिमुलेशनचारों चतुर्थांशों की खोज कीजिए

एक निर्देशांक तल, जो क्षैतिज दिशा में ऋण 10 से 10 तक और ऊर्ध्वाधर दिशा में ऋण 8 से 8 तक है, और जिसके चारों चतुर्थांश रंगे हुए हैं। नाम वाले चार बिंदु A, B, C और D अलग-अलग चतुर्थांशों में शुरू होते हैं; किसी भी बिंदु को ग्रिड के किसी कटान-बिंदु तक खींचिए, और खींचते समय उसके निर्देशांक और चतुर्थांश बदलते जाते हैं।

चित्र 1.8बिंदुओं को खींचिए और देखिए कि उनके निर्देशांक और चतुर्थांश कैसे बदलते हैं।

करके देखिए

A को चतुर्थांश II में ले जाइए। इसके किस निर्देशांक का चिह्न बदला?
B को ठीक y-अक्ष पर रखिए। अब इसका x-निर्देशांक क्या है?
क्या आप C को ऐसी जगह रख सकते हैं जहाँ दोनों निर्देशांक बराबर हों? किन चतुर्थांशों में ऐसा हो सकता है?

सोचिएNCERT सोचिए और विचार कीजिए · पृ. 7

संख्याओं की अदला-बदली

एक बिंदु y-अक्ष पर है। उसका x-निर्देशांक क्या होना चाहिए? x-अक्ष पर स्थित बिंदु के y-निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
बिंदु K, $(p, q)$ है और बिंदु L, $(q, p)$ है। $p$ और $q$ के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनसे K और L एक ही बिंदु हों, और ऐसे मान भी जिनसे वे अलग हों।
तन्वी का दावा है: " $(p, q)$ और $(q, p)$ ठीक तभी एक ही बिंदु होते हैं जब $p = q$ हो।" क्या वह सही है? कारण बताइए।

लैब की दीवारों के बाहर

उस मंज़िल पर लैब अकेली नहीं है। इसके बाईं ओर, y-अक्ष के पार, एक स्टोर-रूम और एक छोटा वॉश-एरिया है। इसके सामने, x-अक्ष के पार, एक गलियारा है (चित्र 1.9)। वही मूलबिंदु और वही अक्ष रखिए, तो इन जगहों के हर बिंदु का x-निर्देशांक ऋणात्मक होगा, या y-निर्देशांक ऋणात्मक होगा, या दोनों। अब एक ही मंज़िल चारों चतुर्थांशों में फैल गई है।

4/4अब एक ही मंज़िल चारों चतुर्थांशों में फैली है।

चित्र 1.9एक ही मूलबिंदु लेने पर इस मंज़िल के कमरे चारों चतुर्थांशों में आ जाते हैं।NCERT चित्र 1.5 · पृ. 7

ग्रिड पर बना एक फ़र्श का नक्शा, जिसमें नीचे ऋण 3 से 8 तक और बाईं ओर ऊपर की ओर ऋण 2 से 6 तक संख्याएँ हैं; नारंगी डैश वाले अक्ष लैब के आगे-बाएँ कोने पर काटते हैं। पहले चरण में केवल गणित लैब दिखती है, y-अक्ष के दाईं ओर और x-अक्ष के ऊपर। दूसरे चरण में y-अक्ष के बाईं ओर y = 2 से 6 तक एक स्टोर-रूम और y = 0 से 2 तक एक वॉश-एरिया दिखता है। तीसरे चरण में x-अक्ष के नीचे पूरी चौड़ाई में 2 इकाई गहरा एक गलियारा दिखता है। अंतिम चरण में चारों चतुर्थांशों पर उनके चिह्नों के पैटर्न लिखे हैं: लैब में I (+, +), स्टोर में II (ऋण, +), और गलियारे में III (ऋण, ऋण) और IV (+, ऋण)।

उदाहरण

छूटा हुआ कोना

स्कूल के बगीचे के एक नक्शे में, जहाँ 1 इकाई = 1 m है, फूलों की एक आयताकार क्यारी के तीन कोने $K (- 3, 2)$ , $L (5, 2)$ और $M (5, - 4)$ हैं। चौथा कोना N, क्यारी की लंबाई और चौड़ाई, और हर कोने का चतुर्थांश ज्ञात कीजिए।

पहले खुद हल करके देखिए। फिर हल को एक-एक चरण करके खोलिए।

अभ्यास · 4 प्रश्न

अभ्यास 1.2: उत्तर सहित प्रश्न

चित्र 1.9 में दिए पूरी मंज़िल के नक्शे का उपयोग कीजिए, जिसमें 1 इकाई = 1 m है। वर्गांकित कागज़ पर x-अक्ष $- 4$ से 9 तक और y-अक्ष $- 3$ से 7 तक खींचिए (हर इकाई के लिए 1 cm) और नक्शे की नकल बनाइए।

1
लघु उत्तरमध्यमNCERT प्रश्नावली 1.2, प्रश्न 1
टीम एक आयताकार काम की मेज़ रखती है, जिसके तीन पाए $(1, 4)$ , $(3.5, 4)$ और $(3.5, 5.2)$ पर हैं।
1. चौथा पाया कहाँ होना चाहिए?
  हल दिखाइए
  उत्तर $(1, 5.2)$
  पहले दो पायों का $y = 4$ एक ही है, और आखिरी दो का $x = 3.5$ एक ही है। चौथा पाया $(3.5, 5.2)$ की सीध में और $(1, 4)$ के ठीक ऊपर होना चाहिए, इसलिए यह $(1, 5.2)$ पर है।
2. मेज़ कितनी लंबी और कितनी चौड़ी है?
  हल दिखाइए
  उत्तर2.5 m × 1.2 m
  लंबाई: $3.5 - 1 = 2.5$ m। चौड़ाई: $5.2 - 4 = 1.2$ m।
3. शेल्फ़ बाईं दीवार के साथ $(0, 4.5)$ से $(0.4, 5.5)$ तक खड़ी है। उस तक पहुँचने के लिए फ़रहान को लगभग 0.9 m की खाली जगह चाहिए। क्या मेज़ सही जगह रखी है?
  हल दिखाइए
  उत्तरनहीं: खाली जगह केवल 0.6 m है।
  शेल्फ़ का अगला भाग $x = 0.4$ पर है और मेज़ का बायाँ किनारा $x = 1$ पर, और $y = 4.5$ से $y = 5.2$ के बीच ये आमने-सामने हैं। खाली जगह $1 - 0.4 = 0.6$ m है, जो 0.3 m कम है। मेज़ को कम से कम 0.3 m दाईं ओर खिसकाने से, जैसे पाए $(1.3, 4)$ , $(3.8, 4)$ , $(3.8, 5.2)$ और $(1.3, 5.2)$ पर रखने से, समस्या हल हो जाती है।
4. क्या नक्शे से आप मेज़ की ऊँचाई बता सकते हैं?
  हल दिखाइए
  उत्तरनहीं।
  फ़र्श का नक्शा द्विविमीय होता है: यह केवल लंबाई और चौड़ाई दर्ज करता है। ऊँचाई के लिए तीसरी संख्या चाहिए।
2
लघु उत्तरकठिनNCERT प्रश्नावली 1.2, प्रश्न 2
स्टोर-रूम का दरवाज़ा $S (0, 3.5)$ पर कब्ज़े से जुड़ा है और लैब के अंदर की ओर खुलता है। शेल्फ़ बाईं दीवार के साथ $(0, 4.5)$ से $(0.4, 5.5)$ तक खड़ी है।
1. दरवाज़ा 0.8 m चौड़ा है। क्या खुलते समय यह शेल्फ़ से टकराएगा?
  हल दिखाइए
  उत्तरनहीं।
  दरवाज़े का हर बिंदु कब्ज़े S से 0.8 m के भीतर रहता है। शेल्फ़ का सबसे पास का बिंदु $(0, 4.5)$ , S से $4.5 - 3.5 = 1$ m ऊपर है, इसलिए दरवाज़ा शेल्फ़ से 0.2 m बचाकर निकल जाता है।
2. फ़रहान के आने-जाने के लिए दरवाज़े को 1.2 m चौड़ा किया जाता है; कब्ज़ा अब भी S पर है। क्या बदलना होगा?
  हल दिखाइए
  उत्तरशेल्फ़ को कम से कम 0.2 m ऊपर खिसकाना होगा।
  अब दरवाज़े की खुली जगह $y = 3.5$ से $y = 3.5 + 1.2 = 4.7$ तक होगी, पर शेल्फ़ $y = 4.5$ से शुरू होती है, यानी दरवाज़े की जगह के अंदर। शेल्फ़ को कम से कम 0.2 m ऊपर खिसकाना होगा (व्यवहार में थोड़ा और, ताकि जगह बची रहे), ताकि वह $y = 4.7$ या उससे ऊपर से शुरू हो।
  तब घूमता हुआ दरवाज़ा भी शेल्फ़ से नहीं टकराता: शेल्फ़ का निचला अगला कोना $(0.4, 4.7)$ , S से लगभग 1.26 m दूर है, जो दरवाज़े की 1.2 m की पहुँच से ज़्यादा है। ऐसी दूरियाँ निकालना आप खंड 1.4 में सीखेंगे।
3
लघु उत्तरमध्यमNCERT प्रश्नावली 1.2, प्रश्न 3
स्टोर-रूम और वॉश-एरिया को देखिए।
1. स्टोर-रूम के चारों कोनों के निर्देशांक लिखिए।
  हल दिखाइए
  उत्तर $(- 3, 2)$ , $(0, 2)$ , $(0, 6)$ , $(- 3, 6)$
  स्टोर-रूम $x = - 3$ से $x = 0$ तक और $y = 2$ से $y = 6$ तक फैला है। इसके कोने $(- 3, 2)$ , $(0, 2)$ , $(0, 6)$ और $(- 3, 6)$ हैं।
2. वॉश-एरिया का आकार कैसा है? इसके कोने, लंबाई और चौड़ाई बताइए।
  हल दिखाइए
  उत्तर3 m × 2 m का एक आयत।
  इसके कोने $(- 3, 0)$ , $(0, 0)$ , $(0, 2)$ और $(- 3, 2)$ हैं। यह $0 - (- 3) = 3$ m लंबा और $2 - 0 = 2$ m चौड़ा एक आयत है।
3. वॉश-एरिया के एक कोने में वॉटर कूलर के लिए 1.5 m × 1 m की जगह अंकित कीजिए। इसके कोनों के निर्देशांक लिखिए।
  हल दिखाइए
  उत्तरउदाहरण के लिए $(- 3, 0)$ , $(- 1.5, 0)$ , $(- 1.5, 1)$ , $(- 3, 1)$ ।
  एक कोना $(- 3, 0)$ पर रखिए। 1.5 m दाईं ओर और 1 m ऊपर जाने पर $(- 3, 0)$ , $(- 1.5, 0)$ , $(- 1.5, 1)$ और $(- 3, 1)$ मिलते हैं। वॉश-एरिया के दूसरे कोनों से दूसरे सही उत्तर भी मिलते हैं, जैसे $(- 1.5, 1)$ , $(0, 1)$ , $(0, 2)$ , $(- 1.5, 2)$ ।
4
लघु उत्तरमध्यमNCERT प्रश्नावली 1.2, प्रश्न 4
गलियारा 11 m लंबा और 2 m चौड़ा है। यह वॉश-एरिया और लैब के सामने से होकर जाता है।
1. गलियारे के चारों कोनों के निर्देशांक लिखिए।
  हल दिखाइए
  उत्तर $(- 3, - 2)$ , $(8, - 2)$ , $(8, 0)$ , $(- 3, 0)$
  यह $x = - 3$ से $x = 8$ तक है, यानी लंबाई $8 - (- 3) = 11$ m, और $y = - 2$ से $y = 0$ तक। इसलिए इसके कोने $(- 3, - 2)$ , $(8, - 2)$ , $(8, 0)$ और $(- 3, 0)$ हैं।
2. 2 m लंबी और 1 m चौड़ी एक बेंच गलियारे के ठीक बीच में, उसकी लंबाई के समांतर रखी है। इसके कोनों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
  हल दिखाइए
  उत्तर $(1.5, - 1.5)$ , $(3.5, - 1.5)$ , $(3.5, - 0.5)$ , $(1.5, - 0.5)$
  क्षैतिज दिशा में $- 3$ और 8 के ठीक बीच $2.5$ है, और ऊर्ध्वाधर दिशा में $- 2$ और 0 के ठीक बीच $- 1$ है: इसलिए केंद्र बिंदु $(2.5, - 1)$ है। बेंच x की दिशा में केंद्र से दोनों ओर 1 m और y की दिशा में ऊपर-नीचे 0.5 m तक फैली है, इसलिए इसके कोने $(1.5, - 1.5)$ , $(3.5, - 1.5)$ , $(3.5, - 0.5)$ और $(1.5, - 0.5)$ हैं।
3. पूरी बेंच किस चतुर्थांश में है?
  चतुर्थांश Iचतुर्थांश IIचतुर्थांश IIIचतुर्थांश IV
  उत्तर देखें
  उत्तर (D) चतुर्थांश IV
  हर कोने का x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक ऋणात्मक है: $(+, -)$ , यानी चतुर्थांश IV।

आइए खोजें

निर्देशांकों वाली लुका-छिपी

आपको चाहिए

वर्गांकित कागज़ की दो शीट
हर खिलाड़ी के लिए एक पेंसिल
एक साथी

पहले अनुमान लगाइए

आपका साथी बताता है कि उसके सारे जहाज़ ऐसी जगहों पर हैं जहाँ दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं। आपको कहाँ ढूँढ़ना चाहिए?

चतुर्थांश Iचतुर्थांश IIचतुर्थांश IIIचतुर्थांश IV

हर खिलाड़ी चुपचाप दोनों दिशाओं में $- 5$ से 5 तक के अक्ष खींचता है।
पूर्ण संख्याओं वाले निर्देशांकों के तीन बिंदु अंकित करके तीन जहाज़ छिपाइए।
बारी-बारी से कोई बिंदु बोलिए, जैसे $(- 2, 3)$ । अगर वहाँ जहाज़ है तो आपका साथी "निशाना" कहेगा, अगर कोई जहाज़ ग्रिड रेखा के साथ ठीक एक इकाई दूर है तो "पास" कहेगा, और नहीं तो "चूक" कहेगा।
हर अनुमान और उसका उत्तर अपनी शीट पर लिखते जाइए।
जो खिलाड़ी सबसे पहले तीनों जहाज़ ढूँढ़ ले, वह जीतता है।

अच्छे खिलाड़ी जल्दी ही अंधाधुंध अनुमान लगाना छोड़ देते हैं। "पास" का अर्थ है कि जहाज़ एक कदम ऊपर, नीचे, बाएँ या दाएँ है, इसलिए केवल चार बिंदु जाँचने होते हैं। पूरे खेल में आप हर चतुर्थांश में बिंदु आलेखित कर रहे थे और निर्देशांक पढ़ रहे थे।

सिमुलेशनबिंदु आलेखित कीजिए!

एक निर्देशांक तल पर चुनौती, जो क्षैतिज दिशा में ऋण 8 से 8 तक और ऊर्ध्वाधर दिशा में ऋण 6 से 6 तक है। हर राउंड में एक बिंदु उसके निर्देशांकों से बताया जाता है; अंक पाने के लिए ग्रिड के उस कटान-बिंदु पर टैप कीजिए जहाँ वह होना चाहिए; गलत टैप करने पर अगली कोशिश से पहले एक संकेत दिखता है।

चित्र 1.10आठ राउंड: हर बिंदु जहाँ होना चाहिए, वहाँ टैप कीजिए।

करके देखिए

टैप करने से पहले बताइए कि बिंदु किस चतुर्थांश में होना चाहिए।
नए बिंदुओं के लिए फिर से खेलिए और 8 में से 8 अंक पाने की कोशिश कीजिए।

असल ज़िंदगी में

आपके चारों ओर निर्देशांक

शतरंज: हर खाने का एक नाम होता है, जैसे e4: पहले स्तंभ का अक्षर, फिर पंक्ति की संख्या।
स्प्रेडशीट: सेल C7, स्तंभ C और पंक्ति 7 में होता है।
सिनेमा के टिकट: पंक्ति H, सीट 12। इन्हें आपस में बदल दें, तो आप कहीं और बैठेंगे।
फ़ोन की स्क्रीन: हर पिक्सेल के निर्देशांक होते हैं, पर मूलबिंदु प्रायः ऊपर-बायाँ कोना होता है और y का मान नीचे की ओर बढ़ता है।
नक्शे और GPS: नई दिल्ली का इंडिया गेट लगभग 28.61° उत्तर, 77.23° पूर्व पर है; पहले अक्षांश, फिर देशांतर।

1.4 2-D तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी

फ़रहान जानना चाहता है कि दरवाज़े से शेल्फ़ तक उसकी व्हीलचेयर को कितनी दूर चलना होगा। टीम जानना चाहती है कि लैब के एक कोने से सामने वाले कोने तक सीधे जाने वाला तार कितना लंबा होना चाहिए। दोनों ही दो बिंदुओं के बीच की दूरी के प्रश्न हैं। जब दोनों बिंदुओं का कोई एक निर्देशांक एक ही हो, तो एक घटाव से उत्तर मिल जाता है। जब ऐसा न हो, तो बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय काम आता है।

किसी अक्ष के समांतर रेखा पर

बिंदुओं $A (- 4, 2)$ और $B (3, 2)$ का y-निर्देशांक एक ही है, इसलिए रेखाखंड (line segment) AB, x-अक्ष के समांतर है। A से B तक वर्ग गिनने पर 7 मिलता है (चित्र 1.11)। x-निर्देशांक घटाने पर भी यही उत्तर मिलता है: $3 - (- 4) = 7$ । हम निरपेक्ष मान (absolute value) लेते हैं, क्योंकि दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती; उलटी ओर से घटाने पर भी $∣ (- 4) - 3 ∣ = ∣ - 7 ∣ = 7$ ही मिलता है।

3/3C और D का x-निर्देशांक एक ही है, इसलिए उनके y-निर्देशांक घटाइए: 5।

चित्र 1.11जो निर्देशांक बदलते हैं, उन्हें घटाने पर वही उत्तर मिलता है जो वर्ग गिनने पर।

एक ग्रिड, जिसके दोनों अक्षों पर संख्याएँ हैं, और उसके नीचे हल लिखने की एक पट्टी है। पहले चरण में एक नीला रेखाखंड A (ऋण 4, 2) और B (3, 2) को जोड़ता है, और उसके ऊपर सात छोटी डैश वाली छलाँगों पर 1 से 7 तक संख्याएँ हैं, जो इकाई कदम गिनती हैं। दूसरे चरण में ग्रिड के नीचे की पट्टी में हल AB = |3 ऋण (ऋण 4)| = 7 दिखता है, जो बताता है कि घटाने पर भी वही गिनती मिलती है। अंतिम चरण में एक नारंगी ऊर्ध्वाधर रेखाखंड C (5, ऋण 2) और D (5, 3) को जोड़ता है, जिसके पास पाँच छलाँगें हैं, और पट्टी में पहले परिणाम के पास हल CD = |3 ऋण (ऋण 2)| = 5 दिखता है।

y-निर्देशांक समान

d = ∣ x_{2} - x_{1} ∣

जहाँ

$(x_{1}, y), (x_{2}, y)$: x-अक्ष के समांतर किसी रेखा पर स्थित दो बिंदु

x-निर्देशांक समान

d = ∣ y_{2} - y_{1} ∣

जहाँ

$(x, y_{1}), (x, y_{2})$: y-अक्ष के समांतर किसी रेखा पर स्थित दो बिंदु

इसी तरह, $C (5, - 2)$ और $D (5, 3)$ का x-निर्देशांक एक ही है, 5, इसलिए CD, y-अक्ष के समांतर है और $C D = ∣ 3 - (- 2) ∣ = 5$ । जब एक बिंदु x-अक्ष के ऊपर हो और दूसरा नीचे, तो दूरी दोनों हिस्सों का योग होती है: 2 नीचे और 3 ऊपर।

झटपट जाँच

3 में से 1

(- 6, 3)

और

(2, 3)

एक-दूसरे से कितनी दूर हैं?

इकाई

उत्तर देखें

उत्तर 8 इकाई

दोनों का

y = 3

है, इसलिए दूरी

∣ 2 - (- 6) ∣ = 8

है।

कोई भी दो बिंदु

ग्रिड वाले रास्ते के दो हिस्से एक-दूसरे पर समकोण बनाते हैं: 8 इकाई आड़े और 6 इकाई ऊपर। सीधा रास्ता PQ, समकोण त्रिभुज PRQ की तीसरी भुजा है, जिसका कोना $R (7, 2)$ है (चित्र 1.12)।

प्रमेयबौधायन–पाइथागोरस प्रमेय

किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण (hypotenuse) पर बना वर्ग बाकी दो भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि समकोण बनाने वाली भुजाएँ $a$ और $b$ हों और कर्ण $c$ हो, तो $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ।

भुजा $a + b$ वाले एक वर्ग के अंदर त्रिभुज की चार प्रतियाँ रखिए, हर कोने में एक, ताकि उनके कर्ण भुजा $c$ वाला एक तिरछा वर्ग घेर लें। यह सचमुच वर्ग है: इसके हर कोने पर त्रिभुज के दो न्यूनकोण (acute angles) और कोने का कोण मिलकर एक ऋजु कोण (straight angle) बनाते हैं। दोनों न्यूनकोणों का योग $90^{\circ}$ है, इसलिए कोने का हर कोण $90^{\circ}$ है।

बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दो तरह से निकालिए: $(a + b)^{2} = 4 \times \frac{1}{2} a b + c^{2}$ । इसलिए $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 a b + c^{2}$ , जिससे $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ मिलता है।

बौधायन ने इसे आयत के लिए कहा था: विकर्ण पर बना वर्ग, लंबाई और चौड़ाई पर बने वर्गों के कुल योग के बराबर होता है।

इसका विलोम (converse) भी सत्य है: यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ को संतुष्ट करती हैं, तो भुजा $c$ के सामने का कोण समकोण होता है। इससे हम जाँचते हैं कि कोई त्रिभुज समकोण त्रिभुज है या नहीं।

4/4 $P Q^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100$ , इसलिए $P Q = 10$ इकाई।

चित्र 1.12समकोण बनाने वाली भुजाएँ निर्देशांकों के अंतर हैं; कर्ण ही दूरी है।NCERT चित्र 1.6–1.7 · पृ. 9

अक्षों वाला एक ग्रिड, जिसमें x-अक्ष ऋण 2 से 8 तक और y-अक्ष 0 से 8 तक है, और दाईं ओर हल की एक पट्टी है। पहले चरण में बिंदु P (ऋण 1, 2) और Q (7, 8) एक धूसर डैश वाली रेखा से जुड़े हैं, जिस पर प्रश्नचिह्न है, और पट्टी पूछती है PQ = ?। दूसरे चरण में P से दाईं ओर एक नीली क्षैतिज भुजा जाती है, जिस पर 8 लिखा है, और पट्टी में PR = 8 दिखता है। तीसरे चरण में R (7, 2) से Q तक एक नारंगी ऊर्ध्वाधर भुजा ऊपर जाती है, जिस पर 6 लिखा है, R पर समकोण का निशान है, और पट्टी में RQ = 6 जुड़ जाता है। अंतिम चरण में तिरछी भुजा PQ सिंदूरी रंग की हो जाती है और उस पर 10 लिखा है, और पट्टी में PQ का वर्ग = 64 + 36 और PQ = 10 दिखता है।

3/3कर्ण AB से दूरी सूत्र मिलता है।

चित्र 1.13यही समकोण त्रिभुज किन्हीं भी दो बिंदुओं के लिए काम करता है।NCERT चित्र 1.8 · पृ. 10

निर्देशांक अक्ष और दो बिंदु A और B; हर बिंदु से दोनों अक्षों तक डैश वाली रेखाएँ गिरती हैं, और x-अक्ष पर x1, x2 तथा y-अक्ष पर y1, y2 लिखे हैं। पहले चरण में केवल A (x1, y1) और B (x2, y2) अंकित हैं, जो एक धूसर डैश वाली रेखा से जुड़े हैं। दूसरे चरण में A से एक नीली क्षैतिज भुजा और B से नीचे आती एक नारंगी ऊर्ध्वाधर भुजा C (x2, y1) पर मिलती हैं, जहाँ समकोण का निशान है; भुजाओं पर x2 ऋण x1 और y2 ऋण y1 लिखा है। अंतिम चरण में भुजा AB सिंदूरी रंग की हो जाती है और ऊपर सूत्र दिखता है: AB बराबर (x2 ऋण x1) के वर्ग और (y2 ऋण y1) के वर्ग के योग का वर्गमूल।

व्युत्पत्तिदूरी सूत्र

मान लीजिए बिंदु $A (x_{1}, y_{1})$ और $B (x_{2}, y_{2})$ हैं, जैसा चित्र 1.13 में है। A से होकर x-अक्ष के समांतर एक रेखा और B से होकर y-अक्ष के समांतर एक रेखा खींचिए। ये $C (x_{2}, y_{1})$ पर मिलती हैं, और C पर कोण समकोण है।

A और C का y-निर्देशांक $y_{1}$ एक ही है, इसलिए $A C = ∣ x_{2} - x_{1} ∣$ । C और B का x-निर्देशांक $x_{2}$ एक ही है, इसलिए $C B = ∣ y_{2} - y_{1} ∣$ ।

बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय से $A B^{2} = A C^{2} + C B^{2}$ । वर्ग करने पर निरपेक्ष मान की खड़ी रेखाएँ हट जाती हैं, क्योंकि हर संख्या $a$ के लिए $∣ a ∣^{2} = a^{2}$ होता है। धनात्मक वर्गमूल लेने पर दूरी सूत्र (distance formula) मिलता है:

दूरी सूत्र

A B = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}

इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि आप किस बिंदु को A कहते हैं और किसे B, क्योंकि $(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2}$ है। ऋणात्मक निर्देशांकों से भी कोई परेशानी नहीं होती, क्योंकि वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। विशेष रूप से, किसी बिंदु $P (x, y)$ की मूलबिंदु से दूरी $(x_{1}, y_{1}) = (0, 0)$ रखने पर मिलती है:

मूलबिंदु से दूरी

O P = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

उदाहरण

ऋणात्मक निर्देशांकों के साथ दूरी

$A (- 2, 5)$ और $B (4, - 3)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

पहले खुद हल करके देखिए। फिर हल को एक-एक चरण करके खोलिए।

उदाहरण

जब उत्तर पूर्ण संख्या न हो

खाना पहुँचाने वाले एक ऐप के नक्शे पर 1 इकाई = 1 km है। एक रसोई $K (- 1, - 2)$ पर है और एक ग्राहक $C (3, 5)$ पर। सीधी दूरी KC, 0.1 km तक सही, ज्ञात कीजिए। डिलीवरी करने वाले का रास्ता शायद इससे लंबा क्यों होगा?

पहले खुद हल करके देखिए। फिर हल को एक-एक चरण करके खोलिए।

दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता सीधा रेखाखंड होता है, और सड़कें शायद ही कभी एक जगह से दूसरी जगह सीधी जाती हैं। इसलिए यह सफ़र कम से कम $\sqrt{65} \approx 8.06$ km की होगी, और प्रायः इससे ज़्यादा।

उदाहरण

कैसा त्रिभुज?

दिखाइए कि $P (1, 2)$ , $Q (4, 6)$ और $R (8, 3)$ एक समकोण समद्विबाहु (isosceles) त्रिभुज के शीर्ष (vertices) हैं।

पहले खुद हल करके देखिए। फिर हल को एक-एक चरण करके खोलिए।

उदाहरण

दो बिंदुओं से बराबर दूरी पर

x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो $A (2, 3)$ और $B (6, 5)$ से बराबर दूरी पर है।

पहले खुद हल करके देखिए। फिर हल को एक-एक चरण करके खोलिए।

दूरियों से यह भी पता चलता है कि तीन बिंदु संरेख (collinear) हैं या नहीं, यानी वे एक ही सीधी रेखा पर हैं या नहीं। मान लीजिए B, रेखाखंड AC पर है। तब A से B और फिर C तक का रास्ता ठीक उतना ही लंबा है जितना A से C तक का सीधा रास्ता, इसलिए $A B + B C = A C$ । अगर B उस रेखा से हटकर है, तो रास्ता घुमावदार हो जाता है, इसलिए $A B + B C$ , AC से बड़ा होता है। इस जाँच का उपयोग आप अभ्यास के प्रश्नों में करेंगे।

परावर्तन से लंबाइयाँ नहीं बदलतीं

एक ग्राफ़ पेपर को y-अक्ष के साथ मोड़िए और कसकर दबाइए। हर बिंदु $(x, y)$ बिंदु $(- x, y)$ पर आ जाता है: उसी ऊँचाई पर और मोड़ से उतनी ही दूरी पर, पर दूसरी ओर। नया बिंदु, पहले बिंदु का y-अक्ष में दर्पण प्रतिबिंब या परावर्तन (reflection) है (चित्र 1.14)।

3/3प्रतिबिंब की भुजाओं की लंबाइयाँ वही हैं: 5, 5 और $\sqrt{50}$ ।

चित्र 1.14y-अक्ष में परावर्तन हर x-निर्देशांक का चिह्न बदल देता है, पर हर लंबाई वही रखता है।NCERT चित्र 1.9 · पृ. 11

x-अक्ष के ऊपर ऋण 8 से 8 तक का एक ग्रिड, जिसके बीच में y-अक्ष है। पहले चरण में y-अक्ष के दाईं ओर एक नीला त्रिभुज TUV बना है, जिसमें T (1, 1), U (4, 5) और V (8, 2) हैं, और इसकी भुजाओं पर 5, 5 और √50 लिखा है। दूसरे चरण में y-अक्ष को दर्पण की तरह उभारा गया है, हर शीर्ष से डैश वाली रेखाएँ सीधी आर-पार जाती हैं, और एक बैंगनी डैश वाला त्रिभुज T′U′V′ (ऋण 1, 1), (ऋण 4, 5) और (ऋण 8, 2) पर दिखता है। अंतिम चरण में प्रतिबिंब की भुजाओं पर भी 5, 5 और √50 लिखा है, और साथ में 'लंबाइयाँ वही' लिखा है।

दूरी सूत्र से एक भुजा जाँचिए: $T U = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (5 - 1)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$ और $T^{'} U^{'} = \sqrt{(- 4 - (- 1))^{2} + (5 - 1)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$ । x का अंतर 3 से $- 3$ हो गया, यानी उसका चिह्न बदल गया, पर उसका वर्ग नहीं बदला। बिंदुओं की हर जोड़ी के साथ यही होता है, इसलिए परावर्तन सभी लंबाइयाँ वही रखता है।

तो बदलता क्या है? स्थितियाँ बदलती हैं, और चतुर्थांश भी: TUV चतुर्थांश I में है और उसका प्रतिबिंब चतुर्थांश II में। घूमने की दिशा भी उलट जाती है। $T \to U \to V$ जाना मूल त्रिभुज पर दक्षिणावर्त (clockwise) है, पर प्रतिबिंब पर वामावर्त। आकार और माप बिल्कुल वही रहते हैं। x-अक्ष में परावर्तन भी इसी तरह होता है: यह $(x, y)$ को $(x, - y)$ पर भेज देता है।

सिमुलेशनपरावर्तन कीजिए और मापिए

दोनों दिशाओं में ऋण 10 से 10 तक का एक निर्देशांक तल, जिसमें समकोण त्रिभुज A (2, 1), B (8, 9), C (8, 1) है। इसकी भुजाएँ AB = 10, BC = 8 और AC = 6 दूरी सूत्र से मापी जाती हैं, और हर शीर्ष का y-अक्ष में दर्पण प्रतिबिंब एक खोखले बिंदु के रूप में दिखता है। त्रिभुज का आकार बदलने के लिए शीर्षों को खींचिए, और यह देखने के लिए कि प्रतिबिंब कहाँ बनते हैं, परावर्तन के लिए x-अक्ष या मूलबिंदु चुनिए।

चित्र 1.15त्रिभुज ABC की भुजाएँ साथ-साथ मापी जाती हैं; आप जैसे ही खींचते हैं, दर्पण प्रतिबिंब भी साथ चलते हैं।

करके देखिए

प्रतिबिंबों के बीच वर्ग गिनिए: क्या प्रतिबिंब की दो छोटी भुजाएँ अब भी 6 और 8 इकाई लंबी हैं?
परावर्तन में x-अक्ष चुनिए। अब किस निर्देशांक का चिह्न बदलता है, और प्रतिबिंब किस चतुर्थांश में बनते हैं?
B को कहीं नई जगह खींचिए और फिर से गिनिए। क्या प्रतिबिंब में त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ हमेशा वही रहती हैं?

सोचिएNCERT सोचिए और विचार कीजिए · पृ. 11

क्या वही रहता है, क्या बदलता है?

TUV की तुलना उसके प्रतिबिंब $T^{'} U^{'} V^{'}$ से कीजिए। क्या-क्या मेल खाता है (भुजाओं की लंबाइयाँ? कोण? क्षेत्रफल?) और क्या अलग है (स्थितियाँ? चतुर्थांश? घूमने की दिशा?), इसकी सूची बनाइए।
अब कल्पना कीजिए कि TUV का परावर्तन x-अक्ष में किया जाए। किस निर्देशांक का चिह्न बदलेगा? प्रतिबिंब किस चतुर्थांश में बनेगा? क्या भुजाओं की लंबाइयाँ बदलेंगी? चित्र 1.15 में परावर्तन के लिए x-अक्ष चुनकर त्रिभुज ABC पर अपने अनुमान जाँचिए।

दोहराइए

सारांश और मुख्य बिंदु

निर्देशांक पद्धति स्थितियों को उन संख्याओं से तय करती है जो किसी चुने हुए मूलबिंदु से तय दिशाओं में मापी जाती हैं। यह विचार ग्रिड वाले नगरों, वेदियों की ज्यामिति और खगोलशास्त्र से विकसित हुआ (खंड 1.1)।
फ़र्श का नक्शा पैमाने पर बना 2-D चित्र है: इसमें लंबाई और चौड़ाई रहती है, पर ऊँचाई छूट जाती है (खंड 1.2)।
क्षैतिज x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर y-अक्ष मूलबिंदु $O (0, 0)$ पर एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं (खंड 1.3)।
O के दाईं ओर और O के ऊपर धनात्मक है; O के बाईं ओर और O के नीचे ऋणात्मक है (चित्र 1.3)।
x-अक्ष पर बिंदुओं का रूप $(x, 0)$ होता है और y-अक्ष पर बिंदुओं का रूप $(0, y)$ (अक्षों पर स्थित बिंदु)।
अक्ष तल को चार चतुर्थांशों में बाँटते हैं, जिनके चिह्नों के पैटर्न I से IV तक क्रमशः $(+, +)$ , $(-, +)$ , $(-, -)$ और $(+, -)$ हैं। अक्षों पर स्थित बिंदु किसी चतुर्थांश में नहीं होते (चतुर्थांश)।
$(x, y)$ में $x$ , y-अक्ष से चिह्न सहित दूरी है और $y$ , x-अक्ष से चिह्न सहित दूरी। $(x, y) = (y, x)$ केवल तब, जब $x = y$ हो (दोनों संख्याओं का अर्थ)।
किसी अक्ष के समांतर रेखा पर दूरी $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ या $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ होती है (अक्ष के समांतर रेखा पर दूरी)।
किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ होती है, जो बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय से मिलती है (दूरी सूत्र)।
दूरियों से आकृतियों की जाँच होती है: बराबर भुजाएँ, समकोण (प्रमेय के विलोम से) और संरेख बिंदु (कोई भी दो बिंदु)।
y-अक्ष में परावर्तन $(x, y)$ को $(- x, y)$ पर भेजता है, और x-अक्ष में $(x, - y)$ पर। परावर्तन हर लंबाई वही रखता है (परावर्तन से लंबाइयाँ नहीं बदलतीं)।

फ़्लैश कार्ड · 8

मुख्य शब्द

1 / 8

अभ्यास · 20 प्रश्न

अभ्यास प्रश्न उत्तर सहित (NCERT अभ्यास से मेल)

प्रश्न 1 से 16 पाठ्यपुस्तक के अध्याय के अंत के प्रश्नों के अनुसार हैं; 17 से 20 झटपट हल होने वाले अतिरिक्त अभ्यास-प्रश्न हैं। जब भी हो सके, एक कच्चा चित्र बनाइए।

झटपट उत्तरआसानNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 1
दोनों अक्ष जिस बिंदु पर काटते हैं, उसे कहते हैं। उसका x-निर्देशांक है और y-निर्देशांक है।
उत्तर देखें
उत्तर (1) मूलबिंदु, (2) 0, (3) 0
अक्ष मूलबिंदु O पर काटते हैं, जिसके निर्देशांक $(0, 0)$ हैं।
2
लघु उत्तरमध्यमNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 2
बिंदु K का y-निर्देशांक 3 है। रेखा $ℓ$ , K से होकर जाती है और x-अक्ष के समांतर है।
1. $ℓ$ पर किसी व्यापक बिंदु H के निर्देशांक लिखिए।
  हल दिखाइए
  उत्तर $H (h, 3)$ , जहाँ $h$ कोई भी संख्या हो सकती है।
  x-अक्ष के समांतर रेखा पर चलने से केवल x-निर्देशांक बदलता है। इसलिए $ℓ$ का हर बिंदु x-अक्ष से 3 इकाई ऊपर है, और किसी संख्या $h$ के लिए $H = (h, 3)$ ।
2. (b)
  H किन चतुर्थांशों में हो सकता है?
  चतुर्थांश Iचतुर्थांश IIचतुर्थांश IIIचतुर्थांश IV
  सभी सही विकल्प चुनिए
  उत्तर देखें
  उत्तर
  (A) चतुर्थांश I
  (B) चतुर्थांश II
  y-निर्देशांक हमेशा $+ 3$ है। यदि $h > 0$ है, तो H चतुर्थांश I में है; यदि $h < 0$ है, तो चतुर्थांश II में। यह कभी x-अक्ष के नीचे नहीं हो सकता।
3. क्या H किसी अक्ष पर हो सकता है? कहाँ?
  हल दिखाइए
  उत्तरकेवल y-अक्ष पर, $(0, 3)$ पर।
  जब $h = 0$ हो, तब H, $(0, 3)$ है, जो y-अक्ष पर है। H कभी x-अक्ष पर नहीं हो सकता, क्योंकि इसका y-निर्देशांक 3 है, 0 नहीं।
3
लघु उत्तरमध्यमNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 3
बिंदुओं $S (4, 2)$ , $H (- 4, 2)$ , $I (- 4, - 3)$ और $P (2, - 3)$ को इसी क्रम में जोड़कर आकृति SHIP बनाई जाती है। आलेखित करने से पहले नीचे के प्रश्नों के उत्तरों का अनुमान लगाइए। फिर बिंदु आलेखित करके जाँचिए।
1. SHIP की ऐसी दो भुजाओं के नाम बताइए जो एक-दूसरे पर लंब हों।
  हल दिखाइए
  उत्तरSH और HI (HI और IP भी)।
  S और H का $y = 2$ एक ही है, इसलिए SH क्षैतिज है। H और I का $x = - 4$ एक ही है, इसलिए HI ऊर्ध्वाधर है। क्षैतिज भुजा और ऊर्ध्वाधर भुजा एक-दूसरे पर लंब होती हैं, इसलिए $S H ⊥ H I$ । इसी तरह $H I ⊥ I P$ ।
2. x-अक्ष या y-अक्ष के समांतर कोई भुजा बताइए।
  हल दिखाइए
  उत्तरSH (या IP), x-अक्ष के समांतर है; HI, y-अक्ष के समांतर है।
  SH और IP दोनों बराबर y-निर्देशांक वाले बिंदुओं को जोड़ती हैं, इसलिए वे x-अक्ष के समांतर हैं। HI बराबर x-निर्देशांक वाले बिंदुओं को जोड़ती है, इसलिए वह y-अक्ष के समांतर है। केवल PS तिरछी है।
3. कौन-से दो बिंदु किसी अक्ष में एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं, और किस अक्ष में?
  हल दिखाइए
  उत्तरS और H, y-अक्ष में।
  $S (4, 2)$ और $H (- 4, 2)$ में केवल x-निर्देशांक का चिह्न अलग है, इसलिए दोनों y-अक्ष में एक-दूसरे के परावर्तन हैं। क्योंकि SH और IP दोनों क्षैतिज हैं, इसलिए SHIP एक समलंब (trapezium) है।
4
संख्यात्मकमध्यमNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 4
$R (- 6, 8)$ आलेखित कीजिए। x-अक्ष पर एक बिंदु S ऐसे चुनिए कि त्रिभुज ORS में S पर समकोण हो, जहाँ O मूलबिंदु है।
1. S कहाँ होना चाहिए?
  हल दिखाइए
  उत्तर $S (- 6, 0)$
  S पर OS (x-अक्ष के साथ) और SR के बीच समकोण का अर्थ है कि SR ऊर्ध्वाधर है। इसलिए S का x-निर्देशांक R वाला ही है और S, x-अक्ष पर है: $S (- 6, 0)$ ।
2. लंबाइयाँ OS, SR और OR ज्ञात कीजिए।
  हल दिखाइए
  उत्तर6, 8 और 10 इकाई
  $O S = ∣ - 6 - 0 ∣ = 6$ और $S R = ∣ 8 - 0 ∣ = 8$ । बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय से $O R = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$ । दूरी सूत्र से भी यही मिलता है: $\sqrt{(- 6)^{2} + 8^{2}} = 10$ ।
5
दीर्घ उत्तरमध्यमNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 5
एक ऐसे नक्शे की कल्पना कीजिए जिसके निर्देशांकों में किसी निश्चित मूलबिंदु से मापी गई केवल शून्य और धनात्मक संख्याएँ हों।
1. यह नक्शा तल के किस भाग को बता सकता है?
  हल दिखाइए
  उत्तरकेवल चतुर्थांश I को, अक्षों के धनात्मक आधे भागों और मूलबिंदु सहित।
  ऋणात्मक संख्याओं के बिना कोई भी बिंदु y-अक्ष के बाईं ओर या x-अक्ष के नीचे नहीं हो सकता। नक्शा केवल चतुर्थांश I वाले चौथाई तल और उसके किनारों को ही दिखाता है।
2. क्या यह किसी अंतहीन तल के हर बिंदु की स्थिति बता सकता है? समझाइए।
  हल दिखाइए
  उत्तरनहीं।
  मूलबिंदु के बाईं ओर या उसके नीचे के बिंदुओं का कोई नाम नहीं होगा। मूलबिंदु को और दूर खिसकाने से कुछ समय के लिए काम चल जाता है, पर अंतहीन तल में किसी भी चुने हुए कोने के आगे हमेशा बिंदु होते हैं।
3. स्क्रीन में पिक्सेल के निर्देशांक कभी ऋणात्मक नहीं होते। उनके लिए यह क्यों काम करता है?
  हल दिखाइए
  स्क्रीन एक सीमित आयत है। मूलबिंदु को एक कोने पर रखने से हर पिक्सेल दोनों अक्षों के एक ही ओर होता है, इसलिए उसके निर्देशांक कभी ऋणात्मक नहीं होते। ऋणात्मक संख्याओं की ज़रूरत तभी पड़ती है जब बिंदु मूलबिंदु के दोनों ओर हो सकते हों।
लघु उत्तरकठिनNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 6
क्या बिंदु $P (- 2, 3)$ , $Q (2, 0)$ और $R (10, - 6)$ एक ही सीधी रेखा पर हैं? ऐसी विधि बताइए जिसमें आलेखित करने की ज़रूरत न हो।
हल दिखाइए
उत्तरहाँ: $P Q + Q R = 5 + 10 = 15 = P R$ ।
$P Q = \sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}} = 5, Q R = \sqrt{8^{2} + (- 6)^{2}} = 10, P R = \sqrt{12^{2} + (- 9)^{2}} = 15$
क्योंकि $P Q + Q R = P R$ है, इसलिए बिंदु Q रेखाखंड PR पर है, और तीनों बिंदु संरेख हैं।
एक और जाँच: P से Q तक जाने में $(+ 4, - 3)$ का बदलाव होता है, और Q से R तक जाने में $(+ 8, - 6)$ का, जो उसी दिशा में ठीक दोगुना है।
लघु उत्तरकठिनNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 7
प्रश्न 6 वाली अपनी विधि से जाँचिए कि $D (- 1, 2)$ , $E (3, 5)$ और $F (11, 10)$ एक ही सीधी रेखा पर हैं या नहीं। फिर इन्हें आलेखित कीजिए। चित्र आपको भ्रम में क्यों डाल सकता है?
हल दिखाइए
उत्तरनहीं: $D E + E F \approx 14.434$ है, पर $D F \approx 14.422$ है।
$D E = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5, E F = \sqrt{8^{2} + 5^{2}} = \sqrt{89} \approx 9.434, D F = \sqrt{12^{2} + 8^{2}} = \sqrt{208} \approx 14.422$
$D E + E F \approx 14.434$ , जो $D F \approx 14.422$ से ज़्यादा है। इसलिए E, रेखाखंड DF पर नहीं है, और बिंदु संरेख नहीं हैं।
कदम भी यही बताते हैं: D से E तक $(+ 4, + 3)$ का बदलाव है, जबकि E से F तक $(+ 8, + 6)$ की जगह $(+ 8, + 5)$ का। चित्र में E, रेखा DF से इतना कम हटा है कि रेखा सीधी दिखती है; इसीलिए कच्चे चित्र से ज़्यादा भरोसा गणना पर किया जा सकता है।
8
चित्रमध्यमNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 8
मूलबिंदु O को एक शीर्ष लेकर, हर त्रिभुज के बाकी दो शीर्ष बताइए और उसे आलेखित कीजिए।
1. एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज, जिसका समकोण O पर हो और एक शीर्ष ऋणात्मक x-अक्ष पर हो।
  हल दिखाइए
  उत्तरउदाहरण के लिए $(- 5, 0)$ और $(0, 5)$ ।
  भुजाओं को अक्षों के साथ रखिए: $A (- 5, 0)$ और $B (0, 5)$ । तब $O A = O B = 5$ और O पर अक्षों के बीच का कोण समकोण है। $k > 0$ के लिए कोई भी $(- k, 0)$ के साथ $(0, k)$ या $(0, - k)$ भी काम करता है।
2. एक समद्विबाहु त्रिभुज, जिसमें O बराबर भुजाओं के बीच का शीर्ष हो, दूसरा शीर्ष चतुर्थांश I में हो और तीसरा चतुर्थांश II में।
  हल दिखाइए
  उत्तरउदाहरण के लिए $(4, 3)$ और $(- 4, 3)$ ।
  y-अक्ष में दर्पण प्रतिबिंब लीजिए: चतुर्थांश I में $A (4, 3)$ और चतुर्थांश II में $B (- 4, 3)$ । तब $O A = O B = \sqrt{16 + 9} = 5$ । व्यापक रूप में $a, b > 0$ के लिए $(a, b)$ और $(- a, b)$ काम करते हैं।
9
लघु उत्तरकठिनNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 9
हर पंक्ति के लिए तय कीजिए कि M, रेखाखंड ST का मध्य-बिंदु है या नहीं। फिर कोई ऐसा नियम ढूँढ़िए जो मध्य-बिंदु के निर्देशांकों को दोनों सिरों के निर्देशांकों से जोड़ता हो।
सारणी 1.4क्या M, ST का मध्य-बिंदु है?
पंक्ति S M T
a $(- 6, 1)$ $(0, 1)$ $(6, 1)$
b $(2, - 3)$ $(4, 0)$ $(6, 4)$
c $(0, 3)$ $(0, 0)$ $(0, - 6)$
d $(- 5, 4)$ $(- 1, 1)$ $(3, - 2)$
1. पंक्ति a: M, ST का मध्य-बिंदु है।
  सहीगलत
  उत्तर देखें
  उत्तर सही
  $S M = 6$ और $M T = 6$ , और तीनों बिंदु रेखा $y = 1$ पर हैं।
2. पंक्ति b: M, ST का मध्य-बिंदु है।
  सहीगलत
  उत्तर देखें
  उत्तर गलत
  $S M = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ है, पर $M T = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ । मध्य-बिंदु $(4, 0.5)$ होता।
3. पंक्ति c: M, ST का मध्य-बिंदु है।
  सहीगलत
  उत्तर देखें
  उत्तर गलत
  तीनों बिंदु y-अक्ष पर हैं, पर $S M = 3$ और $M T = 6$ । मध्य-बिंदु $(0, - 1.5)$ होता।
4. पंक्ति d: M, ST का मध्य-बिंदु है।
  सहीगलत
  उत्तर देखें
  उत्तर सही
  $S M = \sqrt{16 + 9} = 5$ और $M T = \sqrt{16 + 9} = 5$ , और $S \to M$ तथा $M \to T$ में एक ही बदलाव $(+ 4, - 3)$ है।
5. कौन-सा नियम मध्य-बिंदु के निर्देशांकों को S और T के निर्देशांकों से जोड़ता है?
  हल दिखाइए
  उत्तरमध्य-बिंदु का हर निर्देशांक, दोनों सिरों के संगत निर्देशांकों का औसत होता है।
  पंक्ति a और d में M का हर निर्देशांक, S और T के संगत निर्देशांकों के ठीक बीच में है। $S (x_{1}, y_{1})$ और $T (x_{2}, y_{2})$ के लिए मध्य-बिंदु है
  $M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$
  मध्य-बिंदु की जाँच के लिए दोनों आधे भाग बराबर होने चाहिए और तीनों बिंदु एक सीध में होने चाहिए; औसत वाली जाँच दोनों बातें एक साथ जाँच लेती है।
10
संख्यात्मकमध्यमNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 10
$M (2, - 3)$ , $A (- 4, 5)$ और $B (x, y)$ का मध्य-बिंदु है। B ज्ञात कीजिए।
1. $x$ ज्ञात कीजिए।
  उत्तर देखें
  उत्तर 8
  $\frac{- 4 + x}{2} = 2$ , इसलिए $- 4 + x = 4$ और $x = 8$ ।
2. $y$ ज्ञात कीजिए।
  उत्तर देखें
  उत्तर -11
  $\frac{5 + y}{2} = - 3$ , इसलिए $5 + y = - 6$ और $y = - 11$ ।
संख्यात्मककठिनNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 11
P और Q, $A (- 5, 9)$ से $B (10, - 3)$ तक के रेखाखंड को तीन बराबर भागों में बाँटते हैं, और P, A के ज़्यादा पास है। मध्य-बिंदुओं की मदद से P और Q ज्ञात कीजिए।
हल दिखाइए
उत्तर $P (0, 5)$ और $Q (5, 1)$
A से B तक का पूरा बदलाव $(10 - (- 5), - 3 - 9) = (15, - 12)$ है। इसका एक-तिहाई $(5, - 4)$ है।
इसलिए $P = (- 5 + 5, 9 - 4) = (0, 5)$ , जो संयोग से y-अक्ष पर है, और $Q = (0 + 5, 5 - 4) = (5, 1)$ ।
मध्य-बिंदुओं से जाँचिए: A और Q का मध्य-बिंदु $(\frac{- 5 + 5}{2}, \frac{9 + 1}{2}) = (0, 5) = P$ है, और P और B का मध्य-बिंदु $(\frac{0 + 10}{2}, \frac{5 - 3}{2}) = (5, 1) = Q$ है।
12
संख्यात्मककठिनNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 12
वृत्त K का केंद्र मूलबिंदु पर है।
1. $A (2, 9)$ , $B (- 6, 7)$ और $C (- 7, - 6)$ तीनों K पर हैं। K की त्रिज्या दशमलव के 2 स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
  उत्तर देखें
  उत्तर 9.22
  $O A^{2} = 4 + 81 = 85$ , $O B^{2} = 36 + 49 = 85$ , $O C^{2} = 49 + 36 = 85$ । तीनों बिंदु O से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए वे $\sqrt{85} \approx 9.22$ त्रिज्या वाले एक ही वृत्त पर हैं।
2. (b)
  हर बिंदु का मिलान उसकी स्थिति से कीजिए।
  बाईं ओर कोई चीज़ छुइए, फिर दाईं ओर उसका जोड़ा।
  उत्तर देखें
  उत्तर
  $D (- 8, 5)$ : K के बाहर
  $E (0, - 9)$ : K के अंदर
  $F (9, 2)$ : K पर
  दूरियों के वर्गों की तुलना 85 से कीजिए: $64 + 25 = 89 > 85$ (बाहर), $0 + 81 = 81 < 85$ (अंदर), $81 + 4 = 85$ (वृत्त पर)।
संख्यात्मककठिनNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 13
त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु $D (3, 2)$ , $E (- 1, 4)$ और $F (1, - 2)$ हैं। A, B और C ज्ञात कीजिए।
हल दिखाइए
उत्तर $A (- 3, 0)$ , $B (5, - 4)$ , $C (1, 8)$
मध्य-बिंदु का दोगुना, दोनों सिरों के योग के बराबर होता है; यह एक-एक निर्देशांक पर लागू होता है। $B + C$ का अर्थ लीजिए: “B और C के x-निर्देशांक जोड़िए, और उनके y-निर्देशांक जोड़िए”। तब हर मध्य-बिंदु को दोगुना करने पर $B + C = (6, 4)$ , $C + A = (- 2, 8)$ और $A + B = (2, - 4)$ मिलते हैं।
तीनों को जोड़ने पर: $2 (A + B + C) = (6, 8)$ , इसलिए $A + B + C = (3, 4)$ ।
हर जोड़ी को घटाइए: $A = (3, 4) - (6, 4) = (- 3, 0)$ , $B = (3, 4) - (- 2, 8) = (5, - 4)$ और $C = (3, 4) - (2, - 4) = (1, 8)$ ।
जाँच: B और C का मध्य-बिंदु $(\frac{5 + 1}{2}, \frac{- 4 + 8}{2}) = (3, 2) = D$ है।
14
लघु उत्तरमध्यमNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 14
एक मेले के मैदान में उत्तर–दक्षिण दिशा में 8 गलियाँ और पूर्व–पश्चिम दिशा में 6 गलियाँ हैं, जो 50 m की दूरी पर हैं, और गलियों के चौराहों पर दुकानें हैं। चौराहा $(a, b)$ वह है जहाँ $a$ वीं उत्तर–दक्षिण गली (पश्चिम से गिनकर) $b$ वीं पूर्व–पश्चिम गली (दक्षिण से गिनकर) से मिलती है।
1. 50 m के लिए 1 cm लेकर, गलियों के ग्रिड का मॉडल हर दिशा में पहली गली से आखिरी गली तक कितना लंबा और कितना चौड़ा होगा?
  हल दिखाइए
  उत्तर7 cm × 5 cm
  8 गलियों के बीच 50 m के 7 अंतराल हैं, इसलिए ग्रिड आड़े में 350 m है: मॉडल पर 7 cm। 6 गलियों के बीच 5 अंतराल हैं: 250 m, यानी 5 cm।
2. कुल कितने चौराहे हैं?
  उत्तर देखें
  उत्तर 48
  8 उत्तर–दक्षिण गलियों में से हर एक, 6 पूर्व–पश्चिम गलियों में से हर एक से मिलती है: $8 \times 6 = 48$ ।
3. कितने चौराहों का नाम $(5, 2)$ है, और कितनों का $(2, 5)$ ? क्या ये एक ही चौराहा हैं?
  हल दिखाइए
  उत्तरदोनों नामों का एक-एक चौराहा है, और ये अलग-अलग चौराहे हैं।
  $(5, 2)$ पाँचवीं उत्तर–दक्षिण गली और दूसरी पूर्व–पश्चिम गली का चौराहा है; $(2, 5)$ दूसरी उत्तर–दक्षिण गली और पाँचवीं पूर्व–पश्चिम गली का। हर नाम ठीक एक चौराहे पर लागू होता है, और दोनों चौराहे अलग-अलग जगहों पर हैं।
4. इनमें से कौन-सा इस मैदान के किसी असली चौराहे का नाम है?
  $(7, 6)$ $(6, 7)$ दोनोंकोई भी नहीं
  उत्तर देखें
  उत्तर (A) $(7, 6)$
  $(7, 6)$ में 8 उत्तर–दक्षिण गलियों में से सातवीं और 6 पूर्व–पश्चिम गलियों में से छठी गली है: यह चौराहा सचमुच है। $(6, 7)$ के लिए सातवीं पूर्व–पश्चिम गली चाहिए, जो है ही नहीं। क्रम मायने रखता है।
15
संख्यात्मककठिनNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 15
एक गेम की स्क्रीन 720 पिक्सेल चौड़ी और 480 पिक्सेल ऊँची है, और उसका मूलबिंदु नीचे-बाएँ कोने पर है। आइकन 1, 100 पिक्सेल त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका केंद्र $(90, 120)$ पर है। आइकन 2, 120 पिक्सेल त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका केंद्र $(330, 190)$ पर है।
1. क्या किसी भी आइकन का कोई हिस्सा स्क्रीन से बाहर जाता है?
  हल दिखाइए
  उत्तरआइकन 1 बाईं ओर से कट जाता है; आइकन 2 पूरा आ जाता है।
  आइकन 1, $x = 90 - 100 = - 10$ से $x = 190$ तक और $y = 20$ से $y = 220$ तक फैला है। इसके सबसे बाएँ 10 पिक्सेल स्क्रीन से बाहर हैं।
  आइकन 2, $x = 210$ से $x = 450$ तक और $y = 70$ से $y = 310$ तक फैला है, जो $0 \leq x \leq 720$ और $0 \leq y \leq 480$ के भीतर आराम से है।
2. क्या दोनों आइकन एक-दूसरे पर चढ़ते हैं?
  हल दिखाइए
  उत्तरनहीं: केंद्रों के बीच 250 पिक्सेल की दूरी है, जो $100 + 120 = 220$ से ज़्यादा है।
  $\sqrt{(330 - 90)^{2} + (190 - 120)^{2}} = \sqrt{57 600 + 4 900} = \sqrt{62 500} = 250$
  वृत्त तभी छूते, जब केंद्रों के बीच $100 + 120 = 220$ पिक्सेल या उससे कम दूरी होती। 250 पिक्सेल पर उनके बीच 30 पिक्सेल का अंतर है।
संख्यात्मकमध्यमNCERT अध्याय के अंत का प्रश्न 16
$A (1, - 2)$ , $B (5, 1)$ , $C (2, 5)$ और $D (- 2, 2)$ आलेखित कीजिए। क्या ABCD एक वर्ग है? समझाइए, और इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल दिखाइए
उत्तरहाँ; क्षेत्रफल 25 वर्ग इकाई।
$A B^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25, B C^{2} = (- 3)^{2} + 4^{2} = 25, C D^{2} = (- 4)^{2} + (- 3)^{2} = 25, D A^{2} = 3^{2} + (- 4)^{2} = 25$
$A C^{2} = 1^{2} + 7^{2} = 50, B D^{2} = (- 7)^{2} + 1^{2} = 50$
चारों भुजाएँ 5 इकाई हैं और दोनों विकर्ण बराबर हैं, इसलिए ABCD एक वर्ग है। साथ ही $A B^{2} + B C^{2} = 50 = A C^{2}$ , इसलिए B पर कोण समकोण है।
क्षेत्रफल $= 5^{2} = 25$ वर्ग इकाई। इसकी कोई भी भुजा किसी अक्ष के समांतर नहीं है, फिर भी दूरी सूत्र हर भुजा को माप लेता है।
झटपट उत्तरआसान
कौन-सा बिंदु मूलबिंदु से सबसे दूर है?
$(5, 0)$ $(- 3, 4)$ $(- 4, - 4)$ $(0, - 6)$
उत्तर देखें
उत्तर (D) $(0, - 6)$
दूरियों के वर्ग: 25, 25, 32 और 36। $(0, - 6)$ की दूरी 6 इकाई है; $(- 4, - 4)$ की केवल $\sqrt{32} \approx 5.66$ ।
झटपट उत्तरमध्यम
शीर्षों $(0, 0)$ , $(6, 0)$ और $(0, 8)$ वाले त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
इकाई
उत्तर देखें
उत्तर 24 इकाई
भुजाएँ 6, 8 और $\sqrt{36 + 64} = 10$ हैं, इसलिए परिमाप 24 है।
19
झटपट उत्तरमध्यम
बिंदु $(2, - 5)$ के हर परावर्तन का मिलान उसके प्रतिबिंब से कीजिए।
बाईं ओर कोई चीज़ छुइए, फिर दाईं ओर उसका जोड़ा।
उत्तर देखें
उत्तर
x-अक्ष में : $(2, 5)$
y-अक्ष में : $(- 2, - 5)$
मूलबिंदु में : $(- 2, 5)$
x-अक्ष y का चिह्न उलटता है, y-अक्ष x का, और मूलबिंदु दोनों का।
20
झटपट उत्तरमध्यम
इन बिंदुओं को मूलबिंदु से दूरी के क्रम में लगाइए, सबसे पास वाला पहले।
1. $(1, 1)$
2. $(- 2, 0)$
3. $(3, 3)$
4. $(0, - 3)$
उत्तर देखें
उत्तर
$(1, 1)$
$(- 2, 0)$
$(0, - 3)$
$(3, 3)$
दूरियाँ $\sqrt{2} \approx 1.41$ , 2, 3 और $\sqrt{18} \approx 4.24$ हैं।

पंक्ति	S	M	T
a	$(- 6, 1)$	$(0, 1)$	$(6, 1)$
b	$(2, - 3)$	$(4, 0)$	$(6, 4)$
c	$(0, 3)$	$(0, 0)$	$(0, - 6)$
d	$(- 5, 4)$	$(- 1, 1)$	$(3, - 2)$

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शब्दावली · 14

मुख्य शब्द (हिंदी–English)

कार्तीय तलCartesian planekaarteey tal: वह समतल सतह जिस पर निर्देशांक अक्ष खींचे जाते हैं; इसके हर बिंदु के निर्देशांक होते हैं।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →
क्रमित युग्मordered pairkramit yugm: संख्याओं का ऐसा जोड़ा जिसमें क्रम मायने रखता है: $(a, b) = (b, a)$ केवल तब, जब $a = b$ हो।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →

चतुर्थांशquadrantchaturthansh: अक्षों से बने चार भागों में से एक; इन्हें ऊपर-दाएँ से वामावर्त (anticlockwise) क्रम में I से IV तक गिना जाता है।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →

दूरी सूत्रdistance formuladoori sootra: $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ होती है।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →

निर्देशांकcoordinatesnirdeshank: क्रमित युग्म $(x, y)$ जो किसी बिंदु को तय करता है: y-अक्ष से और x-अक्ष से उसकी चिह्न सहित दूरियाँ।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →
निर्देशांक पद्धतिcoordinate systemnirdeshank paddhati: एक निश्चित आरंभ बिंदु और संदर्भ रेखाएँ, जिनसे हम हर स्थान को संख्याओं से नाम दे सकते हैं।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →

परावर्तनreflectionparaavartan: किसी रेखा में किसी बिंदु या आकृति का दर्पण प्रतिबिंब। y-अक्ष में $(x, y)$ का प्रतिबिंब $(- x, y)$ होता है।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →

मध्य-बिंदुmidpointmadhya-bindu: रेखाखंड के ठीक बीच का बिंदु; इसके निर्देशांक दोनों सिरों के निर्देशांकों के औसत होते हैं।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →
मूलबिंदुoriginmoolbindu: वह बिंदु $O (0, 0)$ जहाँ दोनों अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →

संरेखcollinearsanrekh: एक ही सीधी रेखा पर स्थित। यदि $A B + B C = A C$ हो, तो A, B, C संरेख हैं और B उनके बीच में है।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →

x-अक्षx-axisx-aksh: निर्देशांक तल की क्षैतिज संख्या रेखा। इसके हर बिंदु का रूप $(x, 0)$ होता है।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →
x-निर्देशांकx-coordinatex-nirdeshank: $(x, y)$ की पहली संख्या: बिंदु y-अक्ष से कितना दाएँ (+) या बाएँ (−) है।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →

y-अक्षy-axisy-aksh: निर्देशांक तल की ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा। इसके हर बिंदु का रूप $(0, y)$ होता है।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →
y-निर्देशांकy-coordinatey-nirdeshank: $(x, y)$ की दूसरी संख्या: बिंदु x-अक्ष से कितना ऊपर (+) या नीचे (−) है।अध्याय में पहली बार यहाँ आया →

1.1 परिचय

1.2 तैयारी

1.3 2-D कार्तीय निर्देशांक पद्धति

अक्षों पर स्थित बिंदु

फिर से गणित लैब में

चतुर्थांश

दोनों संख्याओं का अर्थ

लैब की दीवारों के बाहर

1.4 2-D तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी

किसी अक्ष के समांतर रेखा पर

कोई भी दो बिंदु

परावर्तन से लंबाइयाँ नहीं बदलतीं

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वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ)

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